Matrixmultiplikation - Vad det är, definition och koncept

Matrixmultiplikation består av att linjärt kombinera två eller flera matriser genom att lägga till deras element beroende på deras placering inom ursprungsmatrisen, med respekt för faktorernas ordning.

Med andra ord är multiplikationen av två matriser att förena matriserna i en enda matris genom att multiplicera och addera elementen i källmatrisernas rader och kolumner, med hänsyn till faktorernas ordning.

Rekommenderade artiklar: operationer med matriser, kvadratmatris.

Matrixmultiplikation

Med två matriser Z Y Y av n rader och m kolumner:

Egenskaper

• Resultatmatrisens dimension är kombinationen av dimensionerna hos matriserna. Med andra ord kommer resultatmatrisens dimension att vara kolumnerna i den första matrisen och raderna i den andra matrisen.

I det här fallet kommer vi att finna det Z_n (rader med Z) är lika med Y_m(kolumner av Y) för att kunna multiplicera dem. Så om de är lika kommer resultatmatrisen att vara:

Exempel

• Vi kommer att multiplicera matriser två och två.

Vi multiplicerar matriserna två och två för att bevara dimensionerna på de ursprungliga matriserna och underlätta processen.

• Matrixmultiplikation är icke-kommutativ.

Kommutativ fastighetsplan

Kommutativ egenskap representerar den välkända frasen: Faktornas ordning förändrar inte resultatet.

Vi hittar den här egenskapen i vanlig addition och multiplikation, det vill säga när vi lägger till och multiplicerar alla objekt som inte är en matris.

Med tanke på ovanstående schema säger kommutativ egenskap att om vi först multiplicerar den blå solen och sedan den gula solen, kommer vi att få samma resultat (grön sol) som om vi multiplicerar den gula solen först och sedan den blå solen.

Så om multiplikationen av matriser inte respekterar kommutativ egenskap, innebär det att faktornas ordning Ja påverkar resultatet. Med andra ord får vi inte den gröna solen om vi ändrar ordningen på de gula och blåa solarna.

Bearbeta

Vi kan multiplicera de tidigare matriserna om antalet rader i matrisen Z motsvarar antalet kolumner i matrisen Y. Nämligen, Z_n = Y_m.

När det väl har bestämts att vi kan multiplicera matriserna multiplicerar vi elementen i varje rad med varje kolumn och lägger till dem på ett sådant sätt att endast ett nummer återstår vid den punkt där de tidigare blå ovalerna sammanfaller.

Först hittar vi var de blå ovalerna sammanfaller och sedan gör vi summan av elementens multiplikationer.

• För det första elementet i resultatmatrisen ser vi att ovalerna sammanfaller där elementet z är₁₁.

• För det sista elementet i resultatmatrisen ser vi att ovalerna sammanfaller i elementet och_nm.

Teoretiskt exempel

Med två kvadratiska matriser D Y OCH,

Multiplicera de tidigare matriserna.

Vi börjar med att multiplicera den första raden i matrisen D med den första kolumnen i matrisen OCH. Sedan gör vi detsamma men behåller raden eller kolumnen för varje matris beroende på om vi vill multiplicera vissa element eller andra. Vi upprepar proceduren tills vi har fyllt i alla luckorna.

Övning

Bevisa att kommutativ egenskap inte uppfylls i produkten av matriser.