Jämviktsmodellerna på räntorna är jämviktsmodeller som bygger på en brun geometrisk process och på riskneutraliteten hos korta räntor.
Med andra ord använder jämviktsräntemodeller kortare räntor för att beräkna framtida räntor med hänsyn till terminsstrukturen för räntor.
Som referens för korta räntor kommer vi att använda räntorna på nollkupongobligationer. Ett exempel kan vara spanska statsskuldväxlar som utfärdats på kort sikt.
Rekommenderade poster: nollkupongobligation, option och genomsnittlig återföring.
Tidsstrukturen för priserna på nollkupongobligationer erhålls från den brownsiska geometriska processen som fångar oändliga förändringar i korta räntor.
Nollkupongobligationspriser används för att värdera priset på nollkupongobligationsoptioner och kupongobligationsoptioner.
Så för att beräkna framtida nollkupongobligationspriser behöver vi korta räntor på nollkupong. På detta sätt kan vi också bygga kurvan eller tidsstrukturen för nollkupongräntor. När vi väl har kurvan kan vi bestämma utvecklingen av de långa räntorna med tanke på de korta räntorna.
Termstruktur eller räntekurva för nollkupongobligationerna beräknade från Vasicek-modellen:
Jämviktsmodellantaganden om räntor
Antagandena från modellen är:
- Riskneutralitet.
Vi antar neutral risk som det klassiska antagandet för värdering av tillgångar på finansmarknaderna. Detta antagande är nyckeln till att få priset på en obligation med hjälp av Monte Carlo-simulering.
- Log-normal fördelning av obligationer och räntor.
Vi antar log-normalfördelningen eftersom vi visar räntor som en positiv variabel som obligationspriser. Det vore inte vettigt att utvärdera obligationer med negativt pris. Förutsatt att lognormal fördelning av räntorna kan vi säga att räntorna följer en bruniansk geometrisk process. Om fördelningen av räntor var en normalfördelning, skulle vi säga att räntorna följer en bruniansk aritmetisk process.
Enfaktors jämviktsmodeller
Enfaktors jämviktsmodeller är modeller för beräkning av löptidsstrukturen för korta räntor.
Vi säger om en enda faktor eftersom risken eller osäkerheten ges av en enda faktor: volatiliteten i räntorna. Det finns tvåfaktors jämviktsmodeller som ger fler möjligheter i ränteförändringar.
Matematiskt definierar vi en jämviktsmodell med en faktor av formen:
Var,
- r (t): korta räntor vid en tidpunkt t.
- dr: förändring i räntor (r) över tid (dt).
- dt: tidens gång = tidens utveckling.
- m (r) dt: riktning eller trend (m) med räntor (r) över tid (dt).
- s (r): standardavvikelse för räntor (r).
- dZ: slumpmässig komponent eller störning som följer en normalfördelning med medelvärde 0 och varians 1.
Ovanstående uttryck är känt som en stokastisk differentialekvation uttryckt genom Itô-processen.
Modelltyper
De vanligaste jämviktsmodellerna med en faktor är:
- Rendleman och Bartter modell.
- Vasicek-modell.
- Cox, Ingresoll och Ross modell.