Standardavvikelsen eller standardavvikelsen är ett mått som ger information om den genomsnittliga spridningen av en variabel. Standardavvikelsen är alltid större än eller lika med noll.
För att förstå detta koncept måste vi analysera två grundläggande begrepp.
- Matematisk förväntan, förväntat värde eller medelvärde: Det är medelvärdet i vår dataserie.
- Avvikelse: Avvikelsen är den åtskillnad som finns mellan vilket värde som helst i serien och medelvärdet.
Förstå dessa två begrepp kommer standardavvikelsen att beräknas på samma sätt som medelvärdet. Men att ta avvikelser som värden. Och även om detta resonemang är intuitivt och logiskt, har det en brist som vi kommer att kontrollera med följande graf.
I den föregående bilden har vi 6 observationer, det vill säga N = 6. Medelvärdet för observationerna representeras av den svarta linjen i mitten av diagrammet och är 3. Vi kommer att förstå med avvikelse skillnaden som finns mellan av observationerna och den svarta linjen. Så vi har 6 avvikelser.
- Avvikelse -> (2-3) = -1
- Avvikelse -> (4-3) = 1
- Avvikelse -> (2-3) = -1
- Avvikelse -> (4-3) = 1
- Avvikelse -> (2-3) = -1
- Avvikelse -> (4-3) = 1
Som vi kan se om vi lägger till de 6 avvikelserna och delar med N (6 observationer) är resultatet noll. Logiken skulle vara att medelavvikelsen skulle vara 1. Men en matematisk egenskap hos medelvärdet med avseende på de värden som utgör det är just att summan av avvikelserna är noll. Hur fixar vi detta? Kvadratera avvikelserna
RangFormler för beräkning av standardavvikelsen
Den första är genom att kvadrera avvikelserna, dividera med det totala antalet observationer och slutligen ta kvadratroten för att ångra kvadraten, så att:
Alternativt skulle det finnas ett annat sätt att beräkna det. Det skulle vara ett genomsnitt av summan av de absoluta värdena för avvikelserna. Tillämpa följande formel:
Denna formel är dock inte ett alternativ till standardavvikelsen eftersom den ger olika resultat. Egentligen är ovanstående formel avvikelsen från medelvärdet. Standard- eller standardavvikelsen och avvikelsen från medelvärdet har likheter men är inte desamma. Denna sista form är känd som medelavvikelse.
Exempel på beräkning av standardavvikelse
Vi ska kontrollera hur, med någon av de två formler som presenteras, resultatet av standardavvikelsen eller medelavvikelsen är densamma.
Enligt variansformeln (kvadratrot):
Enligt absolutvärdeformeln:
Precis som den intuitiva beräkningen dikterade. Medelavvikelsen är 1. Men sa vi inte att formeln för det absoluta värdet och standardavvikelsen gav olika värden? Ja, men det finns ett undantag. Det enda fallet där standardavvikelsen och avvikelsen från medelvärdet ger samma resultat är fallet där alla avvikelser är lika med 1.
Förhållandet mellan standardavvikelsen och variansen
Kort sagt, variansen är inget annat än standardavvikelsen i kvadrat. Eller vad som kommer till samma sak, standardavvikelsen är kvadratroten av variansen. De är relaterade enligt följande:
Efter denna bild är det tydligt att hela formeln inom kvadratroten är variansen. Anledningen till att du måste förstå att denna del kallas varians är att den används i andra formler för att beräkna andra mått. Så även om standardavvikelsen är mer intuitiv för att tolka resultat, är det absolut nödvändigt hur variansen beräknas.