Fraktalgeometri är den gren av geometri som studerar fraktaler. Dessa är komplexa objekt, med en struktur som upprepas när vi observerar den i olika skalor.
Fraktaler består med andra ord av delar som liknar hela och är oregelbundna strukturer. Låt oss tänka på ett broccolihuvud, som när vi delar det delas upp i flera mindre broccoli.
Fraktalgeometri föddes av behovet av en bättre approximation till verkligheten, eftersom plangeometri och rymdens geometri studerar figurer och kroppar som vi mycket knappt hittar i naturen.
Tänk på att berg inte är kottar och att även pyramiderna i Egypten, om vi tittar noga på dem, kommer att ha vissa oegentligheter på deras ytor. Dessa brister kallas med grovhetens kvalitet, och det är en egenskap som lägger till fraktal geometri till föremål, som inte längre bara har omkrets, area och volym.
Fraktal geometriens ursprung
Fraktalgeometriens ursprung är banbrytande av matematikern Benoit Mandelbrot, liksom hans största litterära verk: "Fractal Geometry of Nature", publicerad 1982.
Ordet fractal kommer från det latinska ordet "fractus", vilket betyder trasigt eller brutet, och myntades av Mandelbrot 1975.
Det är värt att nämna att även om Mandelbrot formaliserade studien av fraktalekonomi, var han inte den första som märkte förekomsten av fraktaler i naturen. Om vi till exempel tittar på den välkända japanska målaren Katsushika Hokusai, kommer vi att se det konceptet tillämpas (och Mandelbrot själv nämnde det i en intervju). Till exempel i målningen "The Great Wave" observerar vi hur inuti vågen finns andra mindre vågor.
Kännetecken för en fraktal
De viktigaste egenskaperna hos en fraktal är följande:
- Självlikhet: Det hänvisar till vad vi redan har nämnt tidigare. Om vi tittar på en del av fraktalen i större skala (närmare) kommer den att se ut som hela objektet. Det vill säga, delen liknar hela, även om detta inte alltid är exakt sant. Låt oss till exempel föreställa oss en romb som består av många små rombar. Även om storleken på dessa romber varierar lite, skulle det vara en fraktal.
- Fraktaldimension är inte lika med den topologiska dimensionen: För att förklara den topologiska dimensionen, låt oss föreställa oss att vi har ett plan uppdelat i galler, som ett nät. Så jag drar en linje som går igenom två rutnät. Om jag delade alla nätnäten i två, skulle linjen gå igenom fyra nät. Det vill säga, det multipliceras med 2, vilket är lika med reduktionsfaktorn (2) höjd till 1 (2 = 21), vilket, värt redundansen, är antalet mått på linjen. Om vi har en polygon, en tvådimensionell figur, händer något liknande. Om vi till exempel har en kvadrat som sträcker sig över fyra rutnät och vi använder en reduktionsfaktor på 2 igen, kommer rutan att sträcka sig över 16 rutnät. Antalet galler (4) multipliceras med 4, vilket höjs till 2 (2 = 2)2), exponenten är antalet dimensioner i kvadrat. Allt ovanstående är dock inte sant i fraktaler.
- De kan inte särskiljas vid någon tidpunkt: Detta betyder, i matematiska termer, att derivatet av den representerade funktionen inte kan beräknas. I visuella termer betyder det att diagrammet inte är kontinuerligt utan har toppar, så det är inte möjligt att göra härledningen.
Tillämpning av fraktal geometri
Fraktalgeometri kan tillämpas inom olika fält. Till exempel hade Lewis Fry Richardson 1940 observerat att olika gränser mellan land och land förändrades beroende på mätningens skala. Det vill säga om vi mäter en geografisk kontur kommer resultatet att variera beroende på längden på linjalen som används. Detta fungerade som en referens för Mandelbrot i sin artikel från 1967, som publicerades i tidskriften Science: "Hur länge är Storbritanniens kust?"
Det kan förklaras om vi tar hänsyn till att de geografiska territorierna är fraktaler och eftersom vi ser dem i större skala ser vi fler oegentligheter.
En annan tillämpning av fraktal geometri är analysen av seismiska rörelser och rörelser på aktiemarknaden.
Dessutom måste vi inse att fraktaler har fungerat som inspiration för artister som tidigare nämnda Hokusa, och vi har också fallet med Jackson Pollock.