Taylor polynom är en polynom approximation av en funktionn gånger härledbara vid en viss punkt.
Med andra ord är Taylor polynom en begränsad summa av lokala derivat utvärderade vid en specifik punkt.
Matematiskt
Vi definierar:
f (x): funktion av x.
f (x0): funktion avxvid en specifik punkt x0. Formellt står det:
F(n)(x):n-th derivat av funktionen f (x).
Applikationer
Taylor-expansionen tillämpas vanligtvis på finansiella tillgångar och produkter vars pris uttrycks som en icke-linjär funktion. Priset på en kortfristig skuldsäkerhet är till exempel en icke-linjär funktion som beror på räntorna. Ett annat exempel är alternativ där både riskfaktorer och lönsamhet är icke-linjära funktioner. Beräkningen av varaktigheten för en obligation är en Taylor-polynom av första graden.
Taylor polynomiskt exempel
Vi vill hitta den andra ordningen på Taylor-approximationen av funktionen f (x) vid en punkt x0=1.
1. Vi gör relevanta derivat av funktionen f (x).
I det här fallet ber de oss upp till andra ordningen, så vi kommer att göra de första och andra derivaten av funktionen f (x):
- Första derivat:
- Andra derivat:
2. Vi ersätter x0= 1 i f (x), f '(x) och f' '(x):
3. När vi väl har värdet på derivaten vid punkten x0= 1, vi ersätter det i Taylor-approximationen:
Vi fixar polynomet lite:
Kontroll av värden
Taylor-approximationen kommer att vara adekvat ju närmare x0 vara värdena. För att kontrollera detta ersätter vi värden nära x0 både i den ursprungliga funktionen och i Taylor-approximationen ovan:
När x0=1
Ursprunglig funktion:
Taylor approximation:
När x0=1,05
Ursprunglig funktion:
Taylor approximation:
När x0=1,10
Ursprunglig funktion:
Taylor approximation:
I det första fallet när x0= 1, vi ser att både den ursprungliga funktionen och Taylor-approximationen ger oss samma resultat. Detta beror på sammansättningen av Taylor polynom som vi har skapat med hjälp av lokala derivat. Dessa derivat har utvärderats vid en specifik punkt, x0= 1, för att få ett värde och skapa polynom. Så ju längre bort från just den punkten, x0= 1, desto mindre lämplig kommer approximationen att vara för den ursprungliga icke-linjära funktionen. I de fall där x0= 1,05 och x0= 1,10 det finns en signifikant skillnad mellan resultatet av den ursprungliga funktionen och Taylor-approximationen.
Men … skillnaden är väldigt liten, eller hur?
Taylor polynomrepresentation
Om vi förlänger ytterligheterna (där approximationen rör sig bort från x0=1):
Vid första anblicken kan det verka obetydligt men när vi arbetar med grafen och gör approximationer är det mycket viktigt att ta hänsyn till åtminstone de första fyra decimalerna. Grunden för approximationerna är precision.