Tetraeder är en polyeder med fyra ansikten, sex kanter och fyra hörn. Det är en tredimensionell figur som bildas av flera polygoner som i detta fall är trianglar.
Tetraederna kännetecknas av att vara den enklaste av polyederna, och den enda som har mindre än fem sidor.
Det är värt att nämna att en tetraeder är en pyramid med en triangulär bas.
Element av en tetraeder
Elementen i en tetraeder, som styr oss från figuren nedan, är:
- Ansikten: De är sidorna av tetraedern som, som vi nämnde, är trianglar (ABC, ADC, ADB och BDC.
- Kanter: Det är föreningen av två ansikten: AB, AC, AD, BC, CD och DB.
- Hörn: Det är de punkter där kanterna möts: A, B, C och D.
- Dihedral vinkel: Den bildas av föreningen av två ansikten.
- Polyedervinkel: Det är en som består av sidorna som sammanfaller i ett enda toppunkt.
Område och volym av tetraeder
För att känna till egenskaperna hos tetraedern kan vi beräkna:
- Område: Området för de fyra trianglarna som utgör polyhedronen måste läggas till. I den meningen måste vi komma ihåg att ytan av en triangel beräknas genom att multiplicera basen med höjden och dela med 2 (A = bxh / 2)
- Volym: Det skulle beräknas med följande formel
I formeln är b vilket som helst ansikte på polyhedronen och h är höjden eller segmentet som förenar b med dess motsatta toppunkt. Dessutom är höjden vinkelrät mot basen (de bildar en rät vinkel eller som mäter 90º).
Regelbunden tetraeder
När alla trianglar som utgör tetraedern är liksidiga trianglar identiska med varandra, står vi inför en vanlig tetraeder. Det vill säga det skulle vara ett fall av en vanlig polyeder, vars ansikten är desamma och var och en också är en vanlig polygon.
Vid denna tidpunkt måste vi komma ihåg att en vanlig polygon är en där alla sidor har samma längd och också deras inre vinklar också är lika.
Kom ihåg att arean (A) i en liksidig triangel kan beräknas med hjälp av Herons formel där a, b och c är mätningarna på sidorna och s är semiperimeter, som är omkretsen (P) mellan två.
I så fall, ja:
P = a + b + c = a + a + a = 3a
Vi måste:
Sedan, eftersom det finns fyra trianglar, multiplicerar vi arean för var och en med 4 för att hitta området för tetraedern (AT):
Å andra sidan, om vi vill beräkna volymen, måste vi hitta polyederns höjd. För att göra detta styrs vi av följande bild:
Först beräknar vi basens höjd (h) (triangeln ABC i detta exempel), som är segmentet EB. Vinkel X mäter 90º, så den pythagoreiska satsen måste uppfyllas, och hypotenusen (BA), som mäter a (längden på alla kanter i denna tetraeder), är lika med summan av varje ben i kvadrat. Ett av benen är EA, det är mitten av segmentet AC (E skär sidan i två lika stora delar) och mäter a / 2. Det andra benet är också basens höjd (h eller EB).
Sedan, efter egenskapen hos den vanliga tetraedern, med F som centrum för triangeln, kommer EF att vara en tredjedel av segmentet EB, det vill säga en tredjedel av h.
Nästa steg, för att hitta höjden på tetraeder (DF), kan vi tillämpa Pythagoras teorem igen eftersom, eftersom höjden är vinkelrät, är vinkeln Y rätt (den mäter 90º).
När man tittar på triangeln DEF är hypotenusen DE, vilket är höjden på triangeln ADC, och eftersom alla ansikten är lika är den samma höjd h av triangeln ABC. I sin tur är det ena benet höjden på tetraeder (DF), som vi kommer att kalla ht, och det andra benet är det segment EF som vi redan har beräknat. Därför:
Slutligen, för att hitta volymen på tetraeder (V), som vi förklarade tidigare, multiplicerar vi höjden på figuren (ht) med ytan av basen (A) som beräknas ovan och delar den med tre:
Exempel på tetraeder
Förutsatt att en tetraeder är regelbunden och att varje sida av dess ansikten är 20 meter. Vad är figurens area (AT) och volym (V)?
