Matrix Quadratic Form - Vad är det, definition och koncept

Matrads kvadratiska form är produkten av multiplikationen av en vektor av ordning n med vilken kvadratmatris som helst med vektorn av ordning n transponerad.

Med andra ord är den matriska kvadratiska formen en linjär kombination av en kvadratmatris, en vektor av ordning n och transponeringen av den vektorn.

Rekommenderad artikel: operationer med matriser.

Matris kvadratisk formel

Med en fyrkantig matris Z av ordning n och en vektor h med n-dimensioner kan vi skriva uttrycket som kallas kvadratisk form av formen:

Resultatet av kvadratformen kommer alltid att vara en skalär, det vill säga ett enda tal, inte en matris.

Applikationer

Matrads kvadratiska form används för att hitta graden av positivitet och negativitet hos de definierade matriserna. Beroende på värdena på vektorn h kommer värdet på den kvadratiska formen att vara noll (0), positiv eller negativ.

När vi väl har fått den kvadratiska formen kan vi säga att vi har "definierat" matrisen. Så vi kan prata om en bestämd matris. Denna matris kan vara positiv definitiv, positiv semidefinit, negativ bestämd och negativ semidefinit.

Praktiskt exempel

Hitta kvadratisk form av kvadratmatrisen Z ges en vektor h:

Bearbeta

Först transponerar vi vektorn h.

Sedan tillämpar vi formeln för den kvadratiska formen.

Som vi har sagt tidigare kommer resultatet av den kvadratiska formen alltid att vara ett enda tal. I detta fall är det ett strikt positivt tal.

Men … Hur kan det vara att resultatet är ett konkret tal och inte en matris om vi multiplicerar matriser?

Minskningen av matrisens dimension från multiplikation sker eftersom vi multiplicerar matriser som delar samma antal kolumner och rader.

Demonstration:

Från matrisprodukten Z och från den transponerade vektorn h förblir en vektor med dimension 3 × 1. På samma sätt förblir produkten av resultatvektorn och vektorn h en matris med dimension 1 × 1. En matris med dimension 1 × 1 är en skalär.

Så, om vi beräknar en kvadratiskt form av en matris och får en matris med en dimension större än 1 × 1 (vi får ett annat resultat än ett specifikt tal), kommer det att betyda att vi har gjort ett misstag i något steg och att resultatet är fel.