Linjär transformation av matriser är linjära operationer genom matriser som modifierar den ursprungliga dimensionen för en given vektor.
Med andra ord kan vi ändra dimensionen på en vektor genom att multiplicera den med vilken matris som helst.
Linjära transformationer är basen för vektorerna och egenvärdena för en matris eftersom de beror linjärt på varandra.
Rekommenderade artiklar: operationer med matriser, vektorer och egenvärden.
Matematiskt
Vi definierar en matrisC någon av dimension 3 × 2 multiplicerad med en vektor V av dimensionn = 2 så att V = (v1, v2).
Vilken dimension kommer resultatvektorn att ha?
Vektorn som härrör från matrisenC3×2med vektorV2×1kommer att vara en ny V-vektor av dimension 3.
Denna förändring i dimensionen hos vektorn beror på den linjära transformationen genom matrisen C.
Praktiskt exempel
Med tanke på den fyrkantiga matrisenR med dimension 2 × 2 och vektornV av dimension 2.
En linjär transformation av dimensionen hos vektornV det är:
där den ursprungliga dimensionen för vektorn V var 2 × 1 och nu den slutliga dimensionen av vektorn Du ser3 × 1. Denna förändring i dimension uppnås genom att multiplicera matrisen R.
Kan dessa linjära transformationer representeras grafiskt? Tja förstås!
Vi representerar resultatvektorn V 'i ett plan.
Sedan:
V = (2,1)
V ’= (6,4)
Grafiskt
Eigenvektorer med grafisk representation
Hur kan vi fastställa att en vektor är en egenvektor för en given matris bara genom att titta på diagrammet?
Vi definierar matrisenD av dimension 2 × 2:
Är vektorerna v1= (1,0) och v2= (2,4) egenvektorer i matrisen D?
Bearbeta
1. Låt oss börja med den första vektorn v1. Vi gör den tidigare linjära transformationen:
Så om vektorn v1 är matrisens egenvektor D, den resulterande vektorn v1'Och vektor v1de borde tillhöra samma linje.
Vi representerar v1 = (1,0) och v1’ = (3,0).
Eftersom båda v1som V1”Tillhör samma linje, v1 är en egenvektor för matrisen D.
Matematiskt finns det en konstanth(egenvärde) så att:
2. Vi fortsätter med den andra vektorn v2. Vi upprepar den tidigare linjära transformationen:
Så om vektorn v2 är matrisens egenvektor D, den resulterande vektorn v2'Och vektorn v2 de ska tillhöra samma rad (som bilden ovan).
Vi representerar v2 = (2,4) och v2’ = (2,24).
Eftersom v2 och V2”Tillhör inte samma rad, v2 är inte en egenvektor för matrisen D.
Matematiskt finns det ingen konstanth(egenvärde) så att:
