Bayes sats används för att beräkna sannolikheten för en händelse, med information i förväg om den händelsen.
Vi kan beräkna sannolikheten för en händelse A, även om vi vet att A uppfyller en viss egenskap som bestämmer dess sannolikhet. Bayes sats förstår sannolikheten omvänt till den totala sannolikhetssatsen. Den totala sannolikhetssatsen drar slutsatsen om en händelse B, från resultaten av händelser A. Bayes beräknar för sin del sannolikheten för A villkorad av B.
Bayes sats har varit mycket ifrågasatt. Vilket främst beror på dess dåliga tillämpning. Eftersom antagandena om ojämna och uttömmande händelser uppfylls är satsen helt giltig.
Bayes satsformel
För att beräkna sannolikheten som definierats av Bayes i denna typ av händelse behöver vi en formel. Formeln definieras matematiskt som:
Där B är den händelse som vi har tidigare information om och A (n) är de olika konditionerade händelserna. I den del av täljaren har vi den villkorliga sannolikheten och i den nedre delen den totala sannolikheten. Hur som helst, även om formeln verkar lite abstrakt, är den väldigt enkel. För att demonstrera detta kommer vi att använda ett exempel där vi istället för A (1), A (2) och A (3) använder A, B och C.
Bayes teorem exempel
Ett företag har en fabrik i USA som har tre maskiner, A, B och C, som producerar behållare för vattenflaskor. Maskin A är känd för att producera 40% av den totala mängden, Maskin B 30% och Maskin C 30%. Varje maskin är också känd för att producera defekt förpackning. På ett sådant sätt att maskin A producerar 2% av defekta förpackningar av sin totala produktion, maskin B 3% och maskin C 5%. Som sagt uppstår två frågor:
P (A) = 0,40 P (D / A) = 0,02
P (B) = 0,30 P (D / B) = 0,03
P (C) = 0,30 P (D / C) = 0,05
1. Om en container har tillverkats av detta företags fabrik i USA, vad är sannolikheten för att den är defekt?
Den totala sannolikheten beräknas. Eftersom vi från de olika händelserna beräknar sannolikheten att den är defekt.
P (D) = (P (A) x P (D / A)) + (P (B) x P (D / B)) + (P (C) x P (D / C)) = (0, 4 x 0,02) + (0,3 x 0,03) + (0,3 x 0,05) = 0,032
Uttryckt i procent skulle vi säga att sannolikheten för att en container tillverkad av företagets fabrik i USA är defekt är 3,2%.
2. Om man fortsätter med den föregående frågan, om en container förvärvas och den är defekt, vad är sannolikheten att den har tillverkats av maskin A? Och av maskin B? Och av maskin C?
Bayes sats används här. Vi har tidigare information, det vill säga vi vet att förpackningen är defekt. Naturligtvis, när vi vet att den är defekt, vill vi veta vad som är sannolikheten att den har producerats av en av maskinerna.
P (A / D) = (P (A) x P (D / A)) / P (D) = (0,40 x 0,02) / 0,032 = 0,25
P (B / D) = (P (B) x P (D / B)) / P (D) = (0,30 x 0,03) / 0,032 = 0,28
P (C / D) = (P (C) x P (D / C)) / P (D) = (0,30 x 0,05) / 0,032 = 0,47
Att veta att en behållare är defekt är sannolikheten att den har producerats av maskin A 25%, att den har producerats av maskin B är 28% och att den har producerats av maskin C är 47%.