Darmois-satsen är en sats som gör det möjligt att hitta en statistik T för en parameter θ med egenskapen tillräcklig.
Med ännu enklare ord tillåter det att hitta det matematiska uttrycket, om något, av en tillräcklig statistik.
I förhållande till Fisher-Neyman factoring-kriteriet kan vi överväga. Fisher-Neyman factoring-kriteriet tjänar både till att kontrollera om en statistik uppfyller egenskapen för tillräcklig och att hitta det matematiska uttrycket för en tillräcklig statistik (om den finns). Däremot tillåter Darmois 'sats bara att hitta det matematiska uttrycket (om det finns) för en tillräcklig statistik.
Låt oss säga att medan Fisher-Neyman factoring-kriterium rör sig framåt (sök) och bakåt (kontroll), så flyttas Darmois-satsen bara framåt (sök).
Darmois satsformel
Teoretiskt uttrycks det, givet ett enkelt slumpmässigt urval av en slumpmässig variabel X med densitetsfunktion f (x; θ) med θ ∈ Ω. Om den här funktionen tillhör den exponentiella familjen kan den uttryckas så att:
f (x; θ) = β (θ) × b (x) × e (a (x) × α (θ)
Sedan är statistiken T = T (x1,…, xn) = Σ a (x)
För att underlätta beräkningar utförs vanligtvis logaritmisk notation:
lnf (x; θ) = lnβ (θ) + lnb (x) + (a (x) × α (θ))
Naturligtvis är det svårt att förstå hela denna matematiska notation. Många okända dyker upp, många bokstäver, många operatörer. Låt oss omdefiniera det med vardagliga ord. För detta ändamål börjar vi med den teoretiska definitionen som tillämpas på ett exempel:
Anta ett slumpmässigt urval på 50 barn (enkelt slumpmässigt urval) till vilka vi frågar hur mycket pengar de spenderar per vecka på godis (slumpmässig variabel X) med en given densitetsfunktion (se densitetsfunktion). Så om denna densitetsfunktion kan vi uttrycka den enligt följande:
Vi kommer att fastställa att den tillräckliga statistiken är summan av uttrycket a (x)
Delarna med formeln definieras enligt följande:
- lnβ (θ): Det är en funktion som bara beror på parametern (i vårt fall medelvärdet)
- lnb (x): Det är en funktion som bara beror på den slumpmässiga variabeln X
- a (x): Det är en funktion som bara beror på X och multiplicerar α (θ)
- α (θ): Det är en funktion som bara beror på parametern (i vårt fall medelvärdet)
Darmois sats i praktiken
Även om vi alla har förmågan och verktygen att upptäcka ny statistik är det sällan normen. Med andra ord forskar ekonomiprofessorer och experter inom området på dessa ämnen.
På personlig basis är det svårt att hitta någon som är dedikerad till att göra denna typ av forskning. I praktiken är alltså det viktiga med denna teorem att förstå varifrån denna statistik kommer.
Till exempel, för att någon ska upptäcka att medelvärdet är en tillräcklig statistik, använde de förmodligen denna process.