Ställ algebra - vad det är, definition och koncept

Set algebra är ett studieområde, inom matematik och logik, med fokus på de operationer som kan utföras mellan uppsättningar.

Uppsättningsalgebra är en del av det vi känner till uppsättningsteori.

Man bör komma ihåg att en uppsättning är grupperingen av element av olika slag, såsom bokstäver, siffror, symboler, funktioner, geometriska figurer, bland andra.

Ställ in operationer

De viktigaste operationerna med uppsättningar är följande:

• Union: Föreningen av två eller flera uppsättningar innehåller alla element som tillhör minst en av dessa uppsättningar. Det indikeras av bokstaven U.

A = (9,34,57,6,9)

B = (10,41,57,9,16)

AUB = (9,34,57,6,9,10,41,16)

• Genomskärning: Korsningen av två eller flera uppsättningar innehåller de element som dessa uppsättningar delar. Det indikeras av den inverterade U (∩). Exempel:

A = (a, r, t, i, c, o)

B = (i, n, d, i, c, o)

A∩B = (i, c, o)

• Skillnad: Skillnaden mellan en uppsättning och en annan är lika med elementen i den första uppsättningen minus elementen i den andra. Det indikeras av symbolen eller -. Sett på ett annat sätt, x ∈ a A B om x ∈ A, men x ∉ B. Exempel:

A = (21,34,56,17,7)

B = (78,21,17,36,80)

A-B = (34,56,7)

• Komplement: Komplementet för en uppsättning innehåller alla element som inte ingår i den uppsättningen (men som tillhör en annan universell referensuppsättning). Det indikeras av överskrift C. Exempel:

A = (3,9,12,15,18)

U (Universe) = Alla multiplar av 3 som är helt naturliga tal mindre än 30.

TILL^C=(6,21,24,27)

• Symmetrisk skillnad: Den symmetriska skillnaden mellan två uppsättningar inkluderar alla element som finns i det ena eller det andra, men inte båda samtidigt. Det vill säga det är sammansättningen av uppsättningarna minus deras korsning. Dess symbol är Δ. Exempel:

A = (17.81.99.131.65.32)

B = (11.54.71.65.99.27)

AΔB = (17,81,131,32,11,54,71,27)

• Kartesisk produkt: Det är en operation som resulterar i en ny uppsättning, som innehåller som beställningspar eller tuplar (ordnad serie) av elementen som tillhör två eller flera uppsättningar. De beställs par om det är två uppsättningar och tuplar om vi har mer än två uppsättningar. Exempel:

A = (8,15,6,51)

B = (x, y)

AxB = ((8, x), (8, y), (15, x), (15, y), (6, x), (6, y), (51, x), (51, y) )

BxA = ((x, 8), (x, 15), (x, 6), (x, 51), (y, 8), (y, 15), (y, 6), (y, 51) )

Lagar av algebra

Lagarna för uppsatt algebra är som följer:

• Idempotens: Föreningen eller skärningspunkten för en uppsättning med sig själv resulterar i samma uppsättning:

XUX = X

X∩X = X

• Kommutativ: Faktornas ordning förändrar inte resultatet när man hittar facket eller skärningspunkten mellan uppsättningar:

XUY = XUY

X∩Y = X∩Y

• Distributiv: Föreningen av en uppsättning X, med skärningspunkten mellan två andra uppsättningar Y och Z, är lika med skärningen av föreningen av X och Y, med föreningen av X och Z. Det vill säga:

XU (Y∩Z) = (XUY) ∩ (XUZ)

Dessutom är detsamma sant om vi vänder om arbetsordningen:

X∩ (YUZ) = (X∩Y) U (X∩Z)

• Associativ: Villkoren för en union eller korsningsoperation av flera uppsättningar kan grupperas otydligt och alltid få samma resultat:

XU (XUY) = (XUY) UZ

X∩ (X∩Y) = (X∩Y) ∩Z

• Morgan's Law: Komplementet av föreningen av två uppsättningar är lika med skärningspunkten mellan deras komplement, och komplementet för skärningen av två uppsättningar är lika med föreningen av deras komplement.

(XUY)^C= X^C∩Y^C

(X∩Y)^C= X^CUy^C

• Skillnadslag: Skillnaden mellan en uppsättning och en annan är lika med skärningspunkten för den första med komplementet för den andra:

(X-Y) = X∩Y^C

• Kompletteringslagar:
  • Föreningen av en uppsättning med dess komplement motsvarar inte den universella uppsättningen. XUX^C= U
  • Skärningspunkten för en uppsättning med dess komplement är lika med noll eller tom uppsättning. X∩X^C=∅
  • Komplementet för komplementet för en uppsättning X är lika med uppsättningen X. (X^C)^C= X
  • Komplementet för den universella uppsättningen är lika med noll eller tom uppsättning. X^C=∅
  • Komplementet för den tomma uppsättningen är lika med den universella uppsättningen. ∅^C= U

• Lagar om absorption:
  • XU (X∩Y) = X
  • X∩ (XUY) = X
  • XU (X^C∩Y) = XUY
  • X∩ (X^CUY) = X∩Y