Modulen för en vektor är längden på ett segment orienterat i ett utrymme som bestäms av två punkter och deras ordning.
Med andra ord är en vektors modul längden mellan början och slutet av vektorn, det vill säga där pilen börjar och där den slutar.
Givet vilken tvådimensionell vektor som helst:
Den information som koordinaterna för vektorn ger oss, det vill säga vx och vy, är dess längd för x-axeln respektive dess längd för y-axeln.
Så om vi känner till koordinaterna kan vi beräkna vektorn.
Modul av en vektor och Pythagoras sats
Påminner inte den föregående ritningen om en geometrisk figur?
Exakt kan vi föreställa oss att koordinataxlarna bredvid vektorn bildar en rektangel med bas vx och höjd vy. Vi kan dela denna rektangel i två symmetriska trianglar, det vill säga de kommer båda att ha samma bas och höjd.
Den blåskuggade triangeln har en bas av vx och en höjd av vy. Så när vi känner till denna information kan vi veta dess hypotenus. Det finns en mycket berömd sats som kallas Pythagoras sats som används för dessa beräkningar.
Demonstration
Vi vet att den pythagoreiska formeln är som följer:
Där h är hypotenusen är c ett ben och c ett annat ben.
I vårt fall vet vi hur mycket våra ben är värda, med andra ord basen och höjden. Så vi kan koppla den informationen till ekvationen:
Vi fortsätter att ta bort kvadraten av h genom att tillämpa kvadratroten:
Om vi säger att vx = 3 och vy = 6:
Därför, om v var en vektor med koordinater (3,6), skulle vi veta att dess modul är 6,7082. Exakt, dess modul eftersom formeln för modulen för vilken vektor som helst v är:
Vi ser att just den information som vi saknar i ekvationen sammanfaller med hypotenusen. Med andra ord, längden på vektorn är vad vi vill beräkna och hypotenusen är diagonalen i triangeln. Därför kan vi dra slutsatsen att det är en giltig metod att använda Pythagoras sats för att beräkna vektormodulen.
Så om vi behöver beräkna en vektors modul och vi inte kommer ihåg formeln, kan vi tänka på Pythagoras sats och lösa problemet.
Övningen löst
Beräkna modulen för vektorn v med koordinater (-3, -6) som tillämpar Pythagoras sats.
Modulen för vektorn v med koordinater (-3,6) beräknad från formeln för Pythagoras teorem är också 6,7082.