Avståndet mellan två punkter av dimension R i rymden är tillämpningen av kvadratroten på vektorn som bildas av de ordnade punkterna.
Med andra ord är avståndet mellan två punkter i rymden modulen för vektorn som bildas av dessa punkter.
Avståndet mellan två punkter är inget annat än modulen för vektorn som bildas av de angivna punkterna. När vektormodulen har beräknats har vi redan avståndet mellan de två punkterna.
Formel
Med tanke på följande två punkter:
Därefter kommer avståndet mellan dessa två punkter att vara modulen för vektorn som de bildar:
Därför kommer denna vektors modul att vara avståndet mellan dessa två punkter:
Längden på roten beror på antalet dimensioner som punkterna har. Om de bara är tvådimensionella punkter kommer det bara att finnas två termer i roten. Å andra sidan, om punkterna har 6 dimensioner, kommer det att finnas 6 element inom roten.
Det sägs att punkterna måste beställas eftersom i vektorer, som i matriser, spelar faktorernas ordning roll och är avgörande för korrekt problemlösning. En vektor som går från punkt B till punkt C är inte densamma som en annan vektor som går från punkt C till punkt B.
Schematiskt:
Vad de två tidigare vektorerna delar är avståndet: både vektorn BC och vektorn CB håller samma avstånd mellan sina punkter. Med andra ord har de samma modul.
Detta beror på att skillnaden mellan de två vektorerna bara är tecknet på deras koordinater. Eftersom modulen innefattar att göra kvadraten för koordinaterna för vektorn, ger den samma effekt som om vi använde det absoluta värdet. I själva verket är detta anledningen till att vi anger modulen för en vektor med de två parallella linjerna:
Därefter appliceras roten för att ta bort effekten av komponenternas kvadrat och återgå till samma enheter.
Avstånd i analytisk geometri och i verkligheten
När vi måste beräkna avstånd i analytisk geometri kan vi hjälpa oss med verkliga exempel. Om vi till exempel uppmanas att beräkna avståndet mellan två punkter, som i det här fallet, kan vi föreställa oss själva som utgångspunkt (punkt B) och ett objekt som slutpunkt (punkt C). Så vi kan mäta det avståndet genom att subtrahera i absolut värde mellan en punkt och den andra. Med andra mer tekniska ord, beräkna modulen.
Vi kommer att se att från vår position till objektet och från objektet till oss kommer det att vara samma avstånd. Dessutom kommer avståndet alltid att vara positivt, oavsett om det är 0 eller större. Det kan vara så att vi håller objektet och därför är avståndet 0, eller att målet är långt borta, därför ett positivt avstånd.
Exempel på avstånd mellan två punkter
Beräkna avståndet mellan följande punkter:
