Slutliga uppsättningar är de vars kardinalitet, eller antalet element i den, är lika med ett naturligt tal.
En ändlig uppsättning, med andra ord, är en som har ett antal element som kan räknas. Att vara motsatsen till en oändlig uppsättning, där elementen är oräkneliga.
Ett mer formellt sätt att uttrycka att en uppsättning är ändlig är att elementen i den uppsättningen, som vi kommer att kalla M, kan paras ihop med elementen i uppsättningen (1, 2, …, n), som vi kommer att kalla N. Detta är en sekvens av heltal där varje element är lika med det föregående plus enheten.
Således kan elementen i M och N paras ihop en efter en (vilket är känt som en-till-en-korrespondens) utan att utelämna något element i de två uppsättningarna.
Det sägs också att M och N är ekvipotenta, det vill säga för varje element av M finns det ett element av N.
Vidare sammanfaller siffran n (det största elementet i uppsättningen N) med antalet element i M, där n är kardinalen, kardinaliteten eller kraften hos N, och dess notering är kortet (N), | N | eller #N.
Ändliga exempel
Några exempel på ändliga uppsättningar skulle vara följande:
- Udda heltal större än 13 och mindre än 29: (15, 17, 19, 21, 23, 25, 27)
- Jordens hav: Atlanten, Stilla havet, Indiska, Arktiska, Antarktis
- Listan över de tjugo elever som hör till ett klassrum.
Egenskaper hos ändliga uppsättningar
Bland de huvudsakliga egenskaperna hos ändliga uppsättningar är de som exponeras nedan:
- Föreningen av två eller flera begränsade uppsättningar resulterar i en ändlig uppsättning.
- Korsningen (elementen gemensamt) för en ändlig uppsättning med en eller flera uppsättningar är ändlig.
- Delmängden av en ändlig uppsättning är också ändlig.
- Delmängden C för en ändlig uppsättning M kännetecknas av att ha ett mindre antal element än M. Det är sant att: Om C ⊊ M och | M | = n, sedan | C | <n (symbolen ⊊ betyder att C är en ordentlig delmängd av M. Det vill säga alla element i C finns i M, men det finns minst ett element i M som inte finns i C).
- Effektuppsättningen för en ändlig uppsättning M, som inkluderar alla delmängder som kan bildas med elementen i uppsättningen M (inklusive den tomma uppsättningen eller ∅), är ändlig och har 2n element, där n är antalet element i M. Till exempel om vi har:
(1, 3, 41)
Kraftuppsättningen skulle vara: (∅, (1,3), (1,41), (3,41), (1), (3), (41), (1,3,41))
Som vi kan se har kraftuppsättningen för en begränsad uppsättning av tre element åtta (23) element.
