Symmetrisk matris - Vad är det, definition och koncept

En symmetrisk matris är en matris av ordning n med samma antal rader och kolumner där dess transponerade matris är lika med den ursprungliga matrisen.

Med andra ord är en symmetrisk matris en kvadratmatris och är identisk med matrisen efter att ha bytt rader mot kolumner och kolumner för rader.

Krav

För att en matris ska vara en symmetrisk matris måste den uppfylla följande begränsningar:

Givet en symmetrisk matris P av ordning n,

• Vara en kvadratisk matris.

Antalet rader (n) måste vara detsamma som antalet kolumner (m). Det vill säga ordningen på matrisen måste anges n givet att n = m.

• Den ursprungliga matrisen måste vara lika med sin transponerad matris.

Demonstration:

Egenskaper

• Den angränsande matrisen för en symmetrisk matris är också en symmetrisk matris.

Demonstration:

• Tillägg eller subtraktion av två symmetriska matriser resulterar i en annan symmetrisk matris.

Demonstration:

Med två symmetriska matriser P Y T i ordning 3 får vi en annan symmetrisk matris S från summan.

Varför kallas det en symmetrisk matris?

Egenskapen för symmetri ges av elementen runt huvuddiagonalen. Eftersom en kvadratmatris är en symmetrisk matris kommer den alltid att ha samma antal element ovanför och under huvuddiagonalen. Dessa element är samma symmetriskt. Det vill säga, huvuddiagonalen fungerar som en spegel.

Bevis på symmetri och skevhet hos en matris

Symmetrisk matris

Brevet d representerar elementen i huvuddiagonalen. De andra bokstäverna representerar valfritt reellt tal. Vi kan se att huvuddiagonalen fungerar som en spegel: den reflekterar elementen på båda sidor. Med andra ord, när elementen på båda sidor om diagonalen är symmetriskt lika, säger vi att matrisen P är en symmetrisk matris.

Icke-symmetrisk matris

Matris X Det är inte en symmetrisk matris eftersom den inte är en kvadratmatris och dess transponerade matris skiljer sig från den ursprungliga matrisen. Dessutom har den inte heller någon huvuddiagonal.