Sankt Petersburg-paradoxen är en paradox som observerats av Nicolaus Bernoulli och som har sin anledning att vara med på spel. Denna paradox berättar för oss att, i beslutsteorin, accepteras alla spel, oavsett deras värde, även om nämnda värde visar oss att det inte är ett rationellt beslut.
St. Petersburg-paradoxen, för att vi ska förstå den korrekt, var en paradox som beskrivs av Nicolaus Bernoulli efter att ha observerat spel, varför denna paradox existerar.
SpelteoriI denna mening berättar paradoxen att teorin om de formulerade besluten visar att det rationella beslutet i ett vadslagning är allt, oavsett det belopp som varje insats antar. Men korrekt analysera denna situation och ta hand om teorin exakt, observerar vi att ingen rationell varelse skulle välja att fatta beslutet att satsa en summa pengar nära oändligheten, även om teorin indikerar att den är rationell. Av denna anledning uppstår paradoxen.
Ursprungligen observeras paradoxen av Nicolaus Bernoulli, som den framgår av ett brev som han skickade till Pierre de Montmort, en fransk aristokrat och matematiker, den 9 september 1713.
Eftersom Nicolaus studie inte fick resultat presenterade han dock paradoxen för sin kusin Daniel Bernoulli 1715, en matematiker av nederländskt ursprung och rektor vid universitetet i Basel, som mötte i Sankt Petersburg med en framstående grupp forskare och efter års forskning, publicerade 1738 ett nytt mätsystem i sitt arbete ”Exposition of a new theory in risk measure”.
Den modell som Daniel föreslår, till skillnad från den som Nicolaus föreslagit, lägger grunden för vad som senare skulle förfina och komplettera teorin om förväntad nytta.
St. Petersburg paradoxformel
Den formulering som Nicolaus Bernoulli föreslog till sin kusin och Pierre de Montmort är följande:
Låt oss föreställa oss ett hasardspel där spelaren självklart måste betala en summa för att delta.
Antag att spelaren satsar på svansar och kastar myntet successivt tills svansar. Efter svansar stoppas spelet och spelaren får $ 2 n.
Således, om svansar, vinner spelaren först 2 1, vilket är $ 2. Men om svansar igen får den 2 2, vilket är $ 4 och så vidare. Om det kommer ut igen blir det 8 dollar, vilket motsvarar 2 3; medan, om det kommer ut för fjärde gången, kommer priset att vara 16 dollar, dvs. representationen 2 4.
Således var Nicolaus fråga följande: Med hänsyn till den ovan nämnda sekvensen och vinsten, hur mycket skulle spelaren vara villig att betala för det här spelet utan att förlora rationaliteten?
Exempel på St. Petersburg-paradoxen
Med tanke på den formulering som Nicolaus föreslagit och tvivlet på att han ställde den franska matematikern och hans kusin, låt oss se orsaken till denna paradox, som ett exempel, för att förstå vad vi menar.
Först och främst måste vi veta att innan spelet börjar har vi ett oändligt antal möjliga resultat. Tja, även om sannolikheten är 1/2, kanske svansarna inte kommer ut förrän den 8: e rullen.
Därför är sannolikheten för att detta kors visas vid kasta k:
Pk = 1 / 2k
Vinsten är också 2k.
Fortsätt med utvecklingen, de första svansarna på första rullen ger en vinst på 21 ($ 2) och en sannolikhet på 1/2. Svansar vid andra försöket har en vinst på 22 (4 dollar) och en sannolikhet på 1/22; medan, om svansar vid det tredje försöket, har spelaren en vinst på 23 ($ 8) och en sannolikhet på 1/23. Som vi kan se en relation som sträcker sig så länge vi lägger till körningar.
Innan du fortsätter bör det noteras att vi i beslutsteorin kallar matematisk förväntan (EM), eller förväntad vinst i ett spel, summan av priserna, associerade med vart och ett av de möjliga resultaten i spelet, och alla viktade av sannolikheten att vart och ett av dessa resultat kommer att inträffa.
Om vi tar hänsyn till tillvägagångssättet som visar denna paradox ser vi att när man spelar är sannolikheten att vinna 2 dollar 1/2, men dessutom är sannolikheten att vinna 4 1/4, medan den att vinna 8 dollar är 1/8. Detta, tills du når situationer som att vinna 64 dollar, sannolikheten för detta fall är 1/64.
Med dessa resultat, om vi beräknar den matematiska förväntningen, eller vad vi känner till spelets förväntade vinst, måste vi lägga till vinsterna för alla möjliga resultat viktade med sannolikheten för att de ska inträffa, så resultatet visar oss en oändlig värde.
Om vi följer valsteorin säger den oss att vi ska satsa vilket belopp som helst för det enkla faktum att varje beslut är gynnsamt för oss. Det faktum att det är en paradox beror på att en spelare rationellt inte satsar på obestämd tid, även om teorin driver honom att göra det.
En framträdande paradox
Många har varit matematikerna som har försökt dechiffrera den paradox som Bernoulli föreslog, men det finns också många som inte har kunnat lösa det.
Således finns det många exempel som visar oss hur paradoxen har försökt lösas av matematiker som har tagit upp både spelstrukturen och individernas beslut. Men hittills kan vi fortfarande inte hitta en giltig lösning.
Och det är att, för att få en uppfattning om komplexiteten i denna paradox, med hänsyn till valsteorin i detta exempel, antar vi som ett möjligt pris efter beräkningen ett oändligt antal mynt som, till och med förutsatt att det var möjligt skulle det vara oförenligt med det monetära systemet i sig, eftersom det är pengar som, i motsats till vad paradoxen säger, är begränsade.
