Egenskaper för förväntade värden

Det förväntade värdet för en slumpmässig variabel är konceptet analogt med matematisk algebra som överväger det aritmetiska medelvärdet av uppsättningen observationer av nämnda variabel.

Med andra ord är det förväntade värdet för en slumpmässig variabel det värde som visas oftast under upprepning av ett experiment många gånger.

Egenskaper för förväntade värden för en slumpmässig variabel

Det förväntade värdet på en slumpmässig variabel har tre egenskaper som vi utvecklar nedan:

Fastighet 1

För varje konstant g kommer det förväntade värdet för denna konstant att uttryckas som E (g) och vara samma konstant g. Matematiskt:

E (g) = g

Eftersom g är en konstant, det vill säga det beror inte på någon variabel, kommer dess värde att förbli detsamma.

Exempel

Vad är det förväntade värdet på 1? Med andra ord, vilket värde tilldelar vi siffran 1?

E (1) =?

Exakt, vi tilldelar värdet 1 till siffran 1 och dess värde kommer inte att förändras oavsett hur mycket åren går eller naturkatastrofer inträffar. Så vi har att göra med en konstant variabel och därför:

E (1) = 1 eller E (g) = g

De kan prova andra nummer.

Fastighet 2

För varje konstant h och k kommer det förväntade värdet på linjen h · X + k att vara lika med konstanten h multiplicerat med förväntningen på den slumpmässiga variabeln X plus konstanten k. Matematiskt:

E (h X + k) = h E (X) + k

Titta noga, påminner det dig inte om en mycket berömd rak? Exakt regressionslinjen.

Om vi ​​byter ut:

E (hX + k) = Y

E (X) = X

k = B₀

h = B₁

Ha:

Y = B₀ + B₁X

När koefficienterna B uppskattas₀ , B₁ , det vill säga B₀ , B₁ , dessa förblir desamma för hela provet. Så vi tillämpar egendom 1:

E (B₀) = B₀

E (B₁) = B₁

Här hittar vi också egenskapen för opartiskhet, det vill säga det förväntade värdet av uppskattaren är lika med dess populationsvärde.

Återgå till E (h · X + k) = h · E (X) + k, det är viktigt att komma ihåg att Y är E (h · X + k) när man drar slutsatser från regressionslinjerna. Med andra ord skulle det vara att säga att när X ökar med en, ökar Y med halv h-enheter, eftersom Y är det förväntade värdet på linjen h · X + k.

Fastighet 3

Om H är en vektor av konstanter och X är en vektor av slumpmässiga variabler, kan det förväntade värdet uttryckas som summan av de förväntade värdena.

H = (h₁ , h_2, , …, h_n)

X = (X₁ , X_2, , …, X_n)

Hallå₁X₁ + h₂X₂ +… + H_nX_n) = h₁·FÖRE DETTA₁) + h₂·FÖRE DETTA₂) + … + H_n·FÖRE DETTA_n)

Uttryckt med summor:

Den här egenskapen är mycket användbar för härledningar inom matematisk statistik.