Barycenter av en triangel - Vad är det, definition och koncept
Tyngdpunkten för en triangel är den punkt där figurens medianer skär varandra. Det är också känt som en centroid.
Man bör komma ihåg att medianen är det segment som förenar toppunkten för triangeln med mittpunkten på dess motsatta sida. Således har varje triangel tre medianer.
Till exempel, i triangeln ovan är tyngdpunkten punkt O, medianerna är segmenten AF, BD och CE.
En viktig egenskap hos tyngdpunkten är att dess avstånd från varje toppunkt är dubbelt så långt från motsatt sida.
För att bättre förklara det kan man skilja mellan två delar i varje median:
- Avståndet från toppunkten till tyngdpunkten, vilket är 2/3 av medianlängden
- Den återstående 1/3, vilket är avståndet från tyngdpunkten till mittpunkten på motsatt sida.
I bilden ovan är det till exempel sant att:
Hur man hittar tyngdpunkten för en triangel
För att hitta triangelns tyngdpunkt måste vi ta hänsyn till att koordinaterna för de tre hörnpunkterna i triangeln motsvarar tyngdpunktens koordinater till dess aritmetiska medelvärde. Anta att topparna är:
Då skulle koordinaterna för tyngdpunkten, som vi kommer att kalla O, vara:
Nu är det också möjligt att hitta tyngdpunkten om vi har ekvationerna för linjerna som innehåller minst två av medianerna.
Kom ihåg att i analytisk geometri kan en linje uttryckas som en första ordning algebraisk ekvation som:
y = xm + b
I den visade ekvationen är y koordinaten på ordinataxeln (vertikal), x är koordinaten på abscissaxeln (horisontell), m är lutningen (lutningen) som bildar linjen i förhållande till abscissaxeln, och b är punkten där linjen skär ordinataxeln.
För att bättre förstå ovanstående, låt oss titta på ett exempel.
Exempel på tyngdpunkt
Anta att vi har en triangel som vi känner till två av dess hörnpunkter:
A (0,4) och B (-2,1)
Nu är det vidare känt att mittpunkten för sidan motsatt toppunkt A är (3,1), och mittpunkten för sidan motsatt toppunkt B är (4, 2,5). Det är värt att klargöra att vi använder semikolon för att inte förväxlas med kommatecken som skiljer decimalerna.
Först hittar vi ekvationen för linjen som innehåller medianen som börjar från toppunkt A, med hänsyn till att lutningen vid övergång från en punkt till en annan alltid måste vara densamma. Lutningen är variationen i den vertikala axeln mellan variationen i den horisontella axeln:
Vad vi har gjort är att anta att linjen passerar genom en punkt (x1, y1), som är toppunkten A (0, 4), och genom punkten (x2, y2) som är mittpunkten för dess motsatta sida (3, 1).
Sedan gör vi detsamma med toppunkt B (-2,1) och mittpunkten på dess motsatta sida (-4, -2,5):
Nästa steg utjämnar vi höger sida av de två ekvationer som hittats för att lösa värdet på X-axeln när båda sammanfaller:
Sedan löser vi i någon av ekvationerna för att hitta värdet på y:
Därför är triangelns tyngdpunkt punkten (2,2) i det kartesiska planet.
