En opartisk uppskattare är en vars matematiska förväntningar sammanfaller med värdet på parametern du vill uppskatta. Om de inte sammanfaller sägs uppskattaren ha förspänning.
Anledningen till att leta efter en opartisk uppskattning är att parametern vi vill uppskatta är väl uppskattad. Med andra ord, om vi vill uppskatta genomsnittliga mål per match för en viss fotbollsspelare, måste vi använda en formel som ger oss ett värde så nära det verkliga värdet som möjligt.
Om uppskattningens förväntningar inte sammanfaller med det sanna värdet av parametern sägs uppskattaren ha en förspänning. Bias mäts som skillnaden mellan uppskattarens förväntningsvärde och det verkliga värdet. Matematiskt kan det noteras enligt följande:
Från ovanstående formel är den första och sista delen tydlig. Det vill säga förväntningen hos uppskattaren är lika med det verkliga värdet på parametern. Om denna jämlikhet gäller är uppskattaren opartisk. Den matematiskt mer abstrakta mellersta delen förklaras i nästa stycke.
Medelvärdet av alla uppskattningar som uppskattaren kan göra för varje olika prov är lika med parametern. Till exempel, om vi har 30 olika prover, är det normala att i varje prov erbjuder uppskattaren (även om det bara är något) olika värden. Om vi tar medelvärdet av uppskattarens 30 värden i de 30 olika proverna, ska uppskattaren returnera ett värde som är lika med det sanna värdet för parametern.
PunktuppskattningBias för en uppskattare
En opartisk uppskattare kan inte alltid hittas för att beräkna en viss parameter. Så vår uppskattare kan vara partisk. Att en uppskattare har förspänning betyder inte att den inte är giltig. Det betyder helt enkelt att det inte passar lika bra som statistiskt vi skulle vilja.
Med det sagt, även om det inte passar så bra som vi skulle vilja, finns det ibland inget annat val än att använda en partisk uppskattning. Därför är det mycket viktigt att vi känner till storleken på den förspänningen. Om vi vet om det kan vi använda den informationen i slutsatserna av vår undersökning. Matematiskt definieras förspänningen enligt följande:
I ovanstående formel är förspänningen ett värde som inte är noll. Om det var noll, skulle uppskattaren vara opartisk.
Exempel på en opartisk uppskattning
Ett exempel på en opartisk uppskattning finns i medeluppskattaren. Denna uppskattare är känd i statistiken som provmedlet. Om vi använder den matematiska formeln som beskrivs i början drar vi slutsatsen att provets medelvärde är en opartisk uppskattare. Innan vi går i drift måste vi ta hänsyn till följande information:
Vi betecknar X med en stapel ovanför provets medelvärde.
Formeln för provmedlet är summan av de n-värden som vi har delat med antalet värden. Om vi har 20 data kommer n att vara lika med 20. Vi måste lägga till värdena på 20 data och dela det med 20.
Ovanstående notation betyder förväntan eller förväntat värde på provets medelvärde. I allmänhet kan vi säga att det beräknas som medelvärdet för provets medelvärde. Med detta i åtanke kan vi använda rätt matematiska tekniker härleda följande:
Uppskattningens förväntningar sammanfaller med 'mu' som är det verkliga värdet på parametern. Det vill säga det verkliga medelvärdet. Allt sägs, några grundläggande begrepp om matematik är nödvändiga för att förstå den tidigare utvecklingen.
På samma sätt kan vi försöka göra detsamma med estimatorn för provvariansen. I det som följer är S i kvadrat var provvariansen och den grekiska bokstaven sigma (som ser ut som bokstaven o med en pinne till höger) är den verkliga variansen.
Skillnaden från ovanstående formel är den andra delen av den första formeln. Nämligen:
Vi drar slutsatsen att provvariansen som en uppskattning av populationsvariansen är partisk. Dess förspänning är lika med värdet som anges ovan. Således beror det på populationsvariansen och urvalsstorleken (n). Observera att om n (provstorlek) blir mycket stor, tenderar förspänningen att vara noll.
Om när samplet tenderar att vara mycket stort närmar sig estimatorn det verkliga värdet på parametern, då talar vi om en asymptotiskt opartisk estimator.