Den matematiska förväntningen på en slumpmässig variabel X är det tal som uttrycker medelvärdet för det fenomen som denna variabel representerar.
Den matematiska förväntningen, även kallad det förväntade värdet, är lika med summan av sannolikheten att en slumpmässig händelse existerar, multiplicerat med värdet av den slumpmässiga händelsen. Med andra ord är det medelvärdet för en datamängd. Detta med hänsyn till att termen matematisk förväntan myntas av sannolikhetsteorin.
I matematik kallas genomsnittsvärdet för en händelse som har inträffat ett matematiskt medelvärde. I diskreta fördelningar med samma sannolikhet i varje händelse är det aritmetiska medelvärdet detsamma som den matematiska förväntningen.
Exempel på matematisk förväntan
Låt oss se ett enkelt exempel för att förstå det.
Låt oss föreställa oss ett mynt. Två huvuden, huvuden och svansar. Vad skulle den matematiska förväntningen (förväntat värde) vara att den kommer att komma ut?
Den matematiska förväntningen skulle beräknas som sannolikheten att genom att vända myntet ett mycket stort antal gånger kommer det att komma upp på huvudet.
Eftersom myntet bara kan landa i en av dessa två positioner och båda har samma sannolikhet att de kommer ut, kommer vi att säga att den matematiska förväntningen att det kommer ut kommer att vara en av två, eller vad som är samma, 50% av tiden.
Vi ska göra ett test och vi ska vända ett mynt 10 gånger. Antag att myntet är perfekt.
Snurr och resultat:
- Dyr.
- Korsa.
- Korsa.
- Dyr.
- Korsa.
- Dyr.
- Dyr.
- Dyr.
- Korsa.
- Korsa.
Hur många gånger har det varit huvuden (vi räknar C: erna)? 5 gånger Hur många gånger har svansarna kommit ut (vi räknar X-erna)? 5 gånger. Sannolikheten för att vara huvud kommer att vara 5/10 = 0,5 eller, i procent, 50%.
När den händelsen har inträffat kan vi beräkna det matematiska medelvärdet av antalet gånger varje händelse har inträffat. Den dyra sidan har kommit ut varannan gång, det vill säga 50% av tiden. Medelvärdet matchar den matematiska förväntningen.
Beräkning av matematisk förväntan
Den matematiska förväntningen beräknas med hjälp av sannolikheten för varje händelse. Formeln som formaliserar denna beräkning anges enligt följande:
Var:
- X = händelsevärde.
- P = Sannolikhet att hända.
- i = Period under vilken denna händelse inträffar.
- N = Totalt antal perioder eller observationer.
Sannolikheten för att en händelse inträffar är inte alltid densamma, som med mynt. Det finns otaliga fall där det är mer sannolikt att en händelse kommer ut än en annan. Det är därför vi använder P. I formeln måste vi också multiplicera med händelsens värde vid beräkning av matematiska tal. Nedan ser vi ett exempel.
Vad används matematisk förväntan till?
Den matematiska förväntningen används i alla de discipliner där förekomsten av sannolika händelser är inneboende för dem. Discipliner som teoretisk statistik, kvantfysik, ekonometri, biologi eller finansmarknader. Ett stort antal processer och händelser som inträffar i världen är felaktiga. Ett tydligt och lättförståeligt exempel är aktiemarknadens.
På aktiemarknaden beräknas allt baserat på förväntade värden. Varför förväntade värden? Eftersom det är vad vi hoppas kommer att hända, men vi kan inte bekräfta det. Allt är baserat på sannolikheter, inte säkerhet. Om det förväntade värdet eller den matematiska förväntningen på en tillgångs avkastning är 10% per år betyder det att, baserat på den information vi har från det förflutna, är det troligt att avkastningen blir 10% igen. Om vi naturligtvis bara tar hänsyn till matematisk förväntan som en metod för att fatta våra investeringsbeslut.
Inom finansmarknadsteorier använder många detta begreppet matematisk förväntan. Bland dessa teorier finns den som Markowitz utvecklade på effektiva plånböcker.
Antag i siffror, förenkla mycket, att avkastningen på en finansiell tillgång är följande:
Lönsamhet år 1, 2, 3 och 4.
- 12%.
- 6%.
- 15%
- 12%
Det förväntade värdet skulle vara summan av avkastningen multiplicerat med deras sannolikhet att hända. Sannolikheten att varje lönsamhet "händer" är 0,25. Vi har fyra observationer, fyra år. Varje år har de samma sannolikhet att upprepa sig.
Hopp = (12 x 0,25) + (6 x 0,25) + (15 x 0,25) + (12 x 0,25) = 3 + 1,5 + 3,75 + 3 = 11,25%
Med hänsyn till denna information kommer vi att säga att förväntningen på avkastningen på tillgången är 11,25%.
Förväntad livslängd