Laplaces regel - Vad är det, definition och koncept

Laplaces regel är en metod som låter dig snabbt beräkna determinanten för en kvadratmatris med dimension 3 × 3 eller större med hjälp av en rekursiv expansionsserie.

Med andra ord, Laplaces regel faktorerar den ursprungliga matrisen i lägre dimensionella matriser och justerar dess tecken baserat på elementets position i matrisen.

Denna metod kan utföras med hjälp av rader eller kolumner.

Rekommenderade artiklar: matriser, matstypologier och determinant för en matris.

Laplaces regelformel

En matris Z_mxn vilken dimension som helst mxn,där m = n expanderar den med avseende på den i-rad, sedan:

D_{I j}är determinanten som erhålls genom att eliminera den i-raden och den i-kolumnen av Z_mxn.

M_{I j}är jag, j-th mindre. Det avgörande D_{I j}i funktion av M_{I j}kallas jag, j-th kofaktorav matrisen Z_mxn.
till är positionens teckeninställning.

Teoretiskt exempel på Laplaces regel

Vi definierar TILL_3×3 Vad:

Låt oss börja med det första elementet a₁₁. Vi rasar raderna och kolumnerna som utgör₁₁. Elementen som förblir utan galler, kommer att vara den första avgörande mindre multiplicerat med a₁₁.

2. Vi fortsätter med det andra elementet i den första raden, det vill säga till₁₂. Vi upprepar processen: vi rasar raderna och kolumnerna som innehåller₁₂.

Vi justerar tecken på minor:

Vi lägger till den andra determinanten mindretill föregående resultat och vi bildar en expansionsserie så att:

3. Vi fortsätter med det tredje elementet i den första raden, det vill säga till₁₃. Vi upprepar processen: vi rasar raden och kolumnen som innehåller₁₃.

Vi lägger till den tredje determinanten mindre till föregående resultat och vi utvidgar expansionsserien så att:

Eftersom det inte finns fler element kvar i den första raden stänger vi den rekursiva processen. Vi beräknar determinanterna minderåriga.

På samma sätt som element från första raden har använts kan denna metod också tillämpas med kolumner.

Laplaces regel praktiska exempel

Vi definierar TILL_3×3Vad:

1. Låt oss börja med det första elementet r₁₁= 5. Vi rasar raderna och kolumnerna som utgör₁₁= 5. Elementen som förblir utan galler, kommer att vara den första avgörande mindre multiplicerat med a₁₁=5.

2. Vi fortsätter med det andra elementet i den första raden, det vill säga r₁₂= 2. Vi upprepar processen: vi rasar raderna och kolumnerna som innehåller r₁₂=2.

Vi justerar tecken på minor:

Vi lägger till den andra determinanten mindre till föregående resultat och vi bildar en expansionsserie så att:

3. Vi fortsätter med det tredje elementet i den första raden, det vill säga r₁₃= 3. Vi upprepar processen: vi rasar raden och kolumnen som innehåller r₁₃=3.