Uppskattningsegenskaper

Uppskattarnas egenskaper är de kvaliteter som dessa kan ha och som tjänar till att välja de som är mer kapabla att ge bra resultat.

För att börja med att definiera begreppet estimator, kommer vi att säga att givet slumpmässigt urval (x₁, x₂, x₃, …, X_n) en estimator representerar en population som är beroende av φ en parameter som vi inte känner till.

Denna parameter, som vi betecknar med den grekiska bokstaven fi (φ), kan till exempel vara medelvärdet för alla slumpmässiga variabler.

Matematiskt beror en Q-uppskattare med en parameter på slumpmässiga observationer i provet (x₁, x₂, x₃, …, X_n) och en känd funktion (h) för provet. Uppskattaren (Q) kommer att vara en slumpmässig variabel eftersom den beror på urvalet som innehåller slumpmässiga variabler.

Q = h (x₁, x₂, x₃, …, X_n)

Uppskattningens okänslighet

En Q-uppskattning av φ är en opartisk uppskattning om E (Q) = φ för alla möjliga värden på We. Vi definierar E (Q) som det förväntade värdet eller förväntningen på uppskattaren Q.

När det gäller förspända uppskattare representeras denna fördom som:

Bias (Q) = E (Q) - φ

Vi kan se att förspänningen är skillnaden mellan det förväntade värdet på uppskattaren, E (Q) och det sanna värdet av populationsparametern, φ.

Punktuppskattning

Effektiviteten hos en uppskattare

Ja F₁ och Q₂ är två opartiska uppskattare av φ, kommer deras förhållande till Q att vara effektivt₂ när Var (Q₁) ≤ Var (Q₂) för något värde av φ så länge det statistiska urvalet av φ är strikt större än 1, n> 1. Där Var är variansen och n är provstorleken.

Intuitivt sagt, förutsatt att vi har två uppskattare med den opartiska egenskapen, kan vi säga att en (Q₁) är effektivare än en annan (Q₂) om variabiliteten i resultaten för ett (Q₁) är mindre än den andra (Q₂). Det är logiskt att tänka att en sak som varierar mer än en annan är mindre "exakt".

Därför kan vi bara använda detta kriterium för att välja uppskattare när de är opartiska. I föregående uttalande när vi definierar effektiviteten antar vi redan att beräknarna måste vara opartiska.

För att jämföra uppskattare som inte nödvändigtvis är opartiska, det vill säga förspänning kan existera, rekommenderas det att beräkna uppskattarens medelkvadratfel (MSE).

Om Q är en uppskattning av φ definieras ECM för Q som:

Det genomsnittliga fyrkantsfelet (MSE) beräknar det genomsnittliga avståndet som finns mellan det förväntade värdet för provuppskattaren Q och befolkningsestimatorn. Den kvadratiska formen av ECM beror på det faktum att felen kan vara som standard, negativa eller överdrivna positiva med avseende på det förväntade värdet. På detta sätt beräknar ECM alltid positiva värden.

ECM beror på varians och bias (om någon) gör att vi kan jämföra två uppskattare när en eller båda är partiska. Den vars NDE är större kommer att förstås vara mindre exakt (har mer fel) och därför mindre effektiv.

Uppskattningens konsekvens

Konsistens är en asymptotisk egenskap. Den här egenskapen liknar effektivitetsegenskapen med skillnaden att konsistens mäter det troliga avståndet mellan uppskattarens värde och det sanna värdet av populationsparametern när provstorleken ökar på obestämd tid. Denna obestämda ökning av provstorleken är grunden för den asymptotiska egenskapen.

Det finns en minsta provdimension för att utföra den asymptotiska analysen (kontrollera uppskattningens konsistens när provet ökar). Stora provuppskattningar fungerar bra för prover på cirka 20 observationer, (n = 20). Med andra ord vill vi se hur uppskattaren beter sig när vi ökar provet, men denna ökning tenderar att vara oändlig. Med tanke på detta gör vi en approximation och från 20 observationer i ett prov (n ≥ 20) är den asymptotiska analysen lämplig.

Matematiskt definierar vi Q₁n som en uppskattning av φ från vilket slumpmässigt urval som helst (x₁, x₂, x₃, …, X_n) av storlek (n). Så vi kan säga att Q_n är en konsekvent uppskattning av φ om:

Detta säger oss att skillnaderna mellan uppskattaren och dess befolkningsvärde, | Q_n - φ |, de måste vara större än noll. För detta uttrycker vi det i absolut värde. Sannolikheten för denna skillnad tenderar att vara 0 (blir mindre och mindre) när provstorleken (n) tenderar till oändlighet (blir större och större).

Med andra ord är det mindre och mindre troligt att Q_n rör sig för långt ifrån φ när provstorleken ökar.