En linjär kombination av vektorer inträffar när en vektor kan uttryckas som en linjär funktion av andra vektorer som är linjärt oberoende.
Med andra ord är den linjära kombinationen av vektorer att en vektor kan uttryckas som en linjär kombination av andra vektorer som är linjärt oberoende av varandra.
Krav på linjär kombination av vektorer
Den linjära kombinationen av vektorer måste uppfylla två krav:
- Att en vektor kan uttryckas som en linjär kombination av andra vektorer.
- Låt dessa andra vektorer vara linjärt oberoende av varandra.
Linjär kombination i kalkyl
I grundläggande matematik är vi vana vid att ofta se linjära kombinationer utan att inse det. Till exempel är en linje en kombination av en variabel med avseende på den andra, så att:
Men rötter, logaritmer, exponentiella funktioner … är inte längre linjära kombinationer eftersom proportionerna inte förblir konstanta för hela funktionen:
Så om vi talar om linjär kombination av vektorer kommer ekvationens struktur att ha följande form:
Eftersom vi pratar om vektorer och den tidigare ekvationen hänvisar till variabler, för att bygga kombinationen av vektorer behöver vi bara ersätta variablerna med vektorer. Låt följande vektorer vara:
Så vi kan skriva dem som en linjär kombination enligt följande:
Vektorerna är linjärt oberoende av varandra.
Grekiska brev lambda fungerar som parameter m i linjens allmänna ekvation. Lambda kommer att vara vilket reellt tal som helst och om det inte visas sägs dess värde vara lika med 1.
Att vektorerna är linjärt oberoende betyder att ingen av vektorerna kan uttryckas som en linjär kombination av de andra. Det är känt att de oberoende vektorerna utgör en bas för utrymmet och den beroende vektorn tillhör också det utrymmet.
Parallelepiped-exempel
Vi antar att vi har tre vektorer och vi vill uttrycka dem som en linjär kombination. Vi vet också att varje vektor kommer från samma toppunkt och utgör abscissan för det toppunktet. Den geometriska figuren är en parallellpiped. Eftersom de informerar oss om att den geometriska figuren som dessa vektorer bildar är abscissan hos en parallellpipad, avgränsar vektorerna figurernas ansikten.
Först måste vi veta om vektorerna är linjärt beroende. Om vektorerna är linjärt beroende kan vi inte bilda en linjär kombination av dem.
Tre vektorer:
Hur kan vi veta om vektorerna är linjärt beroende om de inte ger oss information om deras koordinater?
Tja, med hjälp av logik. Om vektorerna var linjärt beroende skulle alla parallellpipade ansikten kollapsa. Med andra ord skulle de vara desamma.
Därför kan vi uttrycka en ny vektor w som ett resultat av den linjära kombinationen av de tidigare vektorerna:
Vektor som representerar kombinationen av tidigare vektorer:
Grafiskt:
