Den största gemensamma delaren (GCF) är det största talet genom vilket två eller flera nummer kan delas. Detta utan att lämna några rester.
Det vill säga den största gemensamma delaren eller GCF är den högsta siffran med vilken en uppsättning siffror kan delas, vilket resulterar i ett heltal.
En delare kan formellt definieras som det tal som finns i en annan exakt en mängd n gånger.
Det bör noteras att siffrorna som GCF beräknas på måste vara noll.
För att förklara det bättre, låt oss titta på ett exempel. Antag att vi har 35 och 15. Således observerar vi vilka delarna av var och en är:
- Delare av 35 → 35,7,5,1
- Delare av 15 → 15,5,3,1
Därför är den största gemensamma faktorn 35 och 15 5.
Det är värt att nämna att om de gemensamma delarna av två tal bara är 1 och -1, kallas de "primära för varandra."
Metoder för att beräkna den största gemensamma delaren
Vi kan skilja på följande tre metoder för att beräkna den största gemensamma delaren:
- Nedbrytning av primfaktor: Siffrorna sönderdelas i primtal. För att beräkna GCF tar vi sedan de vanliga siffrorna som höjs till lägsta effekt. Antag till exempel att vi har 216 och 156:
216/2=108
108/2=54
54/2=27
27/3=9
9/3=3
3/3=1
216=(3^3)*(2^3)
156/2=78
78/2=39
39/3=13
13/13=1
156=13*3*(2^2)
Därför skulle den största gemensamma delaren mellan båda siffrorna vara: (2 2) * 3 = 12
Antag nu att vi har tre element: 315, 441 och 819
315= (3^2)*7*5
441= (3^2)*(7^2)
819= (3^2)*7*13
Efter att ha delat upp dem och tagit varje delare med sin lägsta effekt skulle resultatet bli:
GCF = (3 2) * 7 = 63
- Euclids algoritm: Vid delning till Kom in berhålls en kvot c och en r. Så, den största gemensamma delaren av till Y b är det samma som b Y r. Detta med tanke på följande: a = bc + r. För att förstå det bättre, låt oss tillämpa den här metoden på exemplet som visats tidigare med 216 och 156.
216/156 = 1 med återstoden på 60
nu delar vi 156/60 = 2 med resten 36
Vi delar igen 60/36 = 1 med återstoden 24
Återigen delar vi 36/24 = 1 med resten 12
Och slutligen delar vi 24/12 = 2 med resten 0
Därför är den största gemensamma delaren 12. Som vi kan se, måste vi dela tills resten är 0 och den sista delaren kommer att vara GCF.
- Baserat på den minst vanliga multipeln: Siffrorna multipliceras och resultatet delas med deras minst gemensamma multipel (LCM).
Vi måste komma ihåg att den minst gemensamma multipeln (LCM) är den minsta figuren som uppfyller villkoret att vara en multipel av alla element i en uppsättning siffror.
Om vi går tillbaka till samma exempel kan vi sönderdelas enligt följande:
216 = (3 3) * (2 3) och 156 = 13 * 3 * (2 2) 204 = 3 * (2 2) * 17 168 = 3 * (2 3) * 7
Den minst vanliga multipeln skulle vara: (3 3) * (2 3) * 13 * 17 * 7 = 334.152
Så: GCD = 216 * 156 / 2.808 = 12
Det är värt att nämna att denna metod endast fungerar för två nummer.