Poisson-fördelningen är en diskret sannolikhetsfördelning som modellerar frekvensen för vissa händelser under ett fast tidsintervall baserat på den genomsnittliga frekvensen av förekomst av dessa händelser.
Med andra ord är Poisson-fördelningen en diskret sannolikhetsfördelning som, bara genom att känna till händelserna och deras genomsnittliga frekvens, kan vi känna till deras sannolikhet.
Poissonfördelningsuttryck
Med tanke på en diskret slumpmässig variabel X säger vi att dess frekvens kan approximeras tillfredsställande till en Poisson-fördelning, så att:
Till skillnad från normalfördelningen beror Poisson-fördelningen bara på en parameter, mu (markerad gul).
Mu rapporterar det förväntade antalet händelser som kommer att inträffa under ett visst tidsintervall. När vi pratar om något "förväntat" måste vi omdirigera det för att tänka på medelvärdet. Därför är mu medelvärdet av händelsernas frekvens.
Både medelvärdet och variansen av denna fördelning är mycket strikt positiva.
Representation
Med en Poisson-fördelning med medelvärde 2 är densitetssannolikhetsfördelningen följande:
Funktionen definieras endast på heltal x.
Inte alla Poisson-densitets sannolikhetsfördelningar kommer att se likadana ut även om vi håller provet detsamma. Om vi ändrar medelvärdet, det vill säga parametern som funktionen beror på, ändras också funktionen.
Sannolikhetsdensitetsfunktion (pdf)
Denna funktion förstås som sannolikheten att den slumpmässiga variabeln X tar ett specifikt värde x. Det är det exponentiella av det negativa medelvärdet multiplicerat med medelvärdet som höjs till observationen och allt dividerat med observationsfaktoriet.
För att känna till sannolikheten för varje observation måste vi som anges ersätta alla observationer i funktionen. Med andra ord är x en vektor med dimension n som innehåller alla observationer av den slumpmässiga variabeln X. Medlet skulle också vara en vektor men med en dimension, så att:
När vi väl har beräknade sannolikheter kan vi tillsammans med observationerna rita sannolikhetsdensitetsfördelningen.
Berättelse
Namnet på denna distribution kommer från dess skapare, Siméon-Denis Poisson (1781-1840), en fransk matematiker och filosof, som ville modellera händelsefrekvensen under ett fast tidsintervall. Han deltog också i att fullborda lagen i stort antal.
App
Poisson-fördelningen används inom operativ risk för att modellera situationer där en operativ förlust uppstår. I marknadsrisk används Poisson-processen för väntetider mellan finansiella transaktioner i högfrekventa databaser. Dessutom tas kreditrisk med i beräkningen för att modellera antalet konkurser.
Exempel
Vi antar att vi är på vintersäsongen och vi vill åka skidor före december. Sannolikheten för att skidorterna öppnar före december är 5%. Av de 100 skidorterna vill vi veta sannolikheten för att den närmaste skidorten öppnar före december. Värderingen av denna skidort är 6 poäng.
Ingångarna som behövs för att beräkna Poisson-densitetssannolikhetsfunktionen är datamängden och mu:
- Datamängd = 100 skidorter.
- Mu = 5% * 100 = 5 är det förväntade antalet skidorter med tanke på datamängden.
Så den närmaste stationen har 14,62% chans att den öppnar före december.
Frekvenssannolikhet