Böjningspunkten för en matematisk funktion är den punkt vid vilken grafen som representerar den ändrar sin konkavitet. Det vill säga det går från att vara konkav till att vara konvex, eller vice versa.
Böjpunkten är med andra ord det ögonblick då funktionen ändrar trend.
För att få en idé, låt oss börja med att titta på den i en grafisk framställning, ungefär:
Det bör noteras att en funktion kan ha mer än en böjpunkt eller inte alls. Till exempel har en linje ingen böjpunkt.
Låt oss, i följande graf, se ett exempel på en funktion med mer än en böjningspunkt:
I matematiska termer beräknas också böjningspunkten genom att ställa det andra derivatet av funktionen lika med noll. Således löser vi roten (eller rötterna) för den ekvationen och vi kommer att kalla den Xi.
Sedan ersätter vi Xi i det tredje derivatet av funktionen. Om resultatet skiljer sig från noll, står vi inför en böjningspunkt.
Om resultatet är noll måste vi dock ersätta de på varandra följande derivaten, tills värdet på detta derivat, det är det tredje, fjärde eller femte, skiljer sig från 0. Om derivatet är udda är det en böjningspunkt, men om det ens är nej.
Vändpunktsexempel
Låt oss sedan titta på ett exempel.
Antag att vi har följande funktion:
y = 2x4+ 5x3+ 9x + 14
y ’= 8x3+ 15x2+9
y »= 24x2+ 30x = 0
24x = -30
Xi = -1,25
Sedan ersätter vi Xi i det tredje derivatet:
y »’ = 48x
y »’ = 48x-1,25 = -60
Eftersom resultatet skiljer sig från noll befinner vi oss framför en böjningspunkt som skulle vara när x är lika med -1,25 och y är lika med -2,1328, som visas i följande graf.
I detta observeras att funktionen har en böjningspunkt:
Låt oss nu titta på ett annat exempel:
y = x4-54x2
y ’= 4x3-108x
y »= 12x2-108=0
x2=9
Xi = 3 och -3
Sedan ersätter vi de två rötterna som finns i det tredje derivatet:
y »’ = 24x
y »’ = 24 × 3 = 72
y »’ = 24x-3 = -72
Eftersom resultatet inte är noll har vi två böjpunkter vid (3567) och (-3,567).
För att komplettera informationen inbjuder vi dig att besöka böjningsartikeln, där vi täcker detta koncept på ett mer allmänt sätt:
Definition av böjning