Cholesky-sönderdelningen är en speciell typ av LU-matrisnedbrytning, från den engelska nedre-övre delen, som består av att ta en matris in i produkten av två eller flera matriser.
Med andra ord består Cholesky-sönderdelningen av att jämföra en matris som innehåller samma antal rader och kolumner (fyrkantig matris) till en matris med nollor över huvuddiagonalen multiplicerad med dess matris transponerad med nollor under huvuddiagonalen.
LU-sönderfallet, till skillnad från Cholesky, kan appliceras på olika typer av fyrkantiga matriser.
Koleskiga sönderdelningsegenskaper
Cholesky-sönderdelningen består av:
- En övre triangulär fyrkantig matris: Fyrkantig matris som bara har nollor under huvuddiagonalen.
- En nedre triangulär fyrkantig matris: En matris som bara har nollor över huvuddiagonalen.
Matematiskt, om det finns en positiv bestämd symmetrisk matris, OCH, så finns det en lägre triangulär symmetrisk matris, K, av samma dimension som OCH, resulterar i:
Ovanstående matris visas som Cholesky-matrisen för E. Denna matris fungerar som kvadratroten av matrisen E. Vi vet att domänen för kvadratroten är:
(X ∈ ℜ: x ≥ 0)
Vilket definieras i alla icke-negativa reella tal. På samma sätt som kvadratroten existerar Cholesky-matrisen endast om matrisen är halv-positiv. En matris definieras semi-positiv när de större minderåriga har en positiv eller noll determinant.
Cholesky nedbrytning av OCH är en diagonal matris så att:
Vi kan se att matriserna är kvadratiska och innehåller de nämnda egenskaperna; nollstriangel ovanför huvuddiagonalen i den första matrisen och triangeln med nollor under huvuddiagonalen i den transformerade matrisen.
Ansökningar om kolsönderfall
I finans används den för att omvandla realiseringen av oberoende normalvariabler till normala variabler korrelerade enligt en korrelationsmatris OCH.
Om N är en vektor av oberoende normaler (0,1) följer att Ñ är en vektor av normaler (0,1) korrelerade enligt OCH.
Exempel på Cholesky nedbrytning
Detta är det enklaste exemplet som vi kan hitta på Cholesky-sönderdelning eftersom matriserna måste vara fyrkantiga, i det här fallet är matrisen (2 × 2). Två rader med två kolumner. Dessutom uppfyller den egenskaperna att ha nollor över och under huvuddiagonalen. Denna matris är halvpositiv bestämd eftersom de större minderåriga har en positiv determinant. Vi definierar:
Lösning för: c2 = 4; b · c = -2; till2+ b2 = 5; vi har fyra möjliga Cholesky-matriser:
Slutligen beräknar vi för att hitta (a, b, c). När vi väl har hittat dem har vi Cholesky-matriserna. Beräkningen är som följer:
