Antisymmetrisk matris - Vad är det, definition och koncept

En antisymmetrisk matris är en kvadratisk matris där elementen utanför huvuddiagonalen är symmetriskt lika men de under huvuddiagonalen har ett negativt tecken.

Med andra ord är en antisymmetrisk matris en matris som har samma antal rader (n) och kolumner (m) och elementen på båda sidor om huvuddiagonalen är komplementära.

Eftersom elementen ovanför och under huvuddiagonalen är förskjutna är elementen på huvuddiagonalen nollor.

Rekommenderad artikel: icke-symmetrisk matris och symmetrisk matris.

Egenskaper för den antisymmetriska matrisen

Egenskaperna hos en antisymmetrisk matris är:

• Fyrkantig matris.
• Symmetrisk matris + negativt tecken (-) i elementen under huvuddiagonalen.
• Element i huvuddiagonalen är nollor (0).

Antisymmetrisk matris

Med en fyrkantig matris ESS,

Vi kan se hur samma element visas på båda sidor om huvuddiagonalen, men med det särdrag att elementen under huvuddiagonalen har ett negativt tecken framför. Huvuddiagonalen består också av nollor.

Den antisymmetriska matrisen och speglarna

På samma sätt som den symmetriska matrisen kan den antisymmetriska matrisen också förstås genom exemplet med spegeln.

Om vi ​​tittar på oss själva i spegeln och lyfter vår högra arm, kommer vi att se att personen i spegeln lyfter sin vänstra arm. Med andra ord kompletterar spegelns rörelse vår och därför skulle summan av båda resultera i noll.

Vi kan uttrycka ovanstående idé på följande sätt och härleda:

(Räck upp handen rätt) - (Räck upp handen vänster) = 0

(Räck upp handen rätt) = (Räck upp handen vänster)

Huvuddiagonalen fungerar som en spegel och vi ser motsatta element på båda sidor om huvuddiagonalen. Den neutrala funktionen (=) mappar till huvuddiagonalen.

Fast egendom

• Den transponerade matrisen för en antisymmetrisk matris är lika med den antisymmetriska matrisen multiplicerad med (-1).

Med andra ord skulle det vara som att lägga till ett negativt tecken framför den antisymmetriska matrisen.

Matematiskt,

Vi kan se att vi med båda förfarandena når samma resultat: att matrisen transponeras eller multipliceras med (-1) den antisymmetriska matrisen.

Icke-symmetrisk matris vs Antisymmetrisk matris vs Symmetrisk matris

Exemplet på spegeln i fallet med den symmetriska matrisen är tillräckligt för att den reflekterar samma rörelse, det vill säga om vi lyfter en arm kan vi se en upphöjd arm men det är inte nödvändigt att specificera vad det är. När det gäller den antisymmetriska matrisen måste vi kontrollera vilken arm vi ser i spegeln och avgöra om det är en antisymmetrisk matris.

Om vi ​​lyfter en arm och i spegeln ser vi att …

• Samma arm lyfts, från personens synvinkel i spegeln, då är det en symmetrisk matris.

• Den motsatta armen lyfts, från personens synvinkel i spegeln, då är det en antisymmetrisk matris.

• Om ingen arm lyfts eller mer än en höjs, ur personens synvinkel i spegeln, är det en icke-symmetrisk matris.