Den skalära produkten av två vektorer enligt dess geometriska definition är multipliceringen av deras moduler med cosinus av den vinkel som bildas av båda vektorerna.
Med andra ord, punktprodukten av två vektorer är att göra produkten av modulerna för båda vektorerna och vinkelns cosinus.
Scalar produktformel
Med tanke på två vektorer beräknas punktprodukten enligt följande:
Det kallas en skalärprodukt eftersom resultatet av modulen alltid kommer att vara en skalär, på samma sätt som cosinus i en vinkel också kommer att vara. Resultatet av denna multiplikation blir ett tal som uttrycker en storlek och inte har någon riktning. Med andra ord blir resultatet av punktprodukten ett tal, inte en vektor. Därför kommer vi att uttrycka det resulterande talet som valfritt tal och inte som en vektor.
För att känna till storleken på varje vektor beräknas modulen. Så om vi multiplicerar storleken på en av vektorerna (v) med storleken på den andra vektorn (a) med cosinus för den vinkel som båda bildar, vet vi hur mycket de två vektorerna totalt mäter.
Modulen för vektorn (v) gånger vinkelns cosinus är också känd som projektion av vektorn v på vektorn a.
Se ett annat sätt att beräkna punktprodukten för två vektorer
Bearbeta
- Beräkna vektorernas moduler.
Med tanke på vilken vektor som helst med tre dimensioner,
Formeln för att beräkna en vektors modul är:
Varje underscript av vektorn anger dimensionerna, i detta fall är vektorn (a) en tredimensionell vektor eftersom den har tre koordinater.
2. Beräkna vinkelns cosinus.
Exempel på punktprodukten av två vektorer
Beräkna skalärprodukten för följande tredimensionella vektorer med vetskap om att vinkeln de bildar är 45 grader.
För att beräkna skalärprodukten måste vi först beräkna vektorernas modul:
När vi väl har beräknat modulerna för de två vektorerna och vi vet vinkeln behöver vi bara multiplicera dem:
Därför är punktprodukten från de tidigare vektorerna 1.7320 enheter.
Graf
Följande vektorer skulle se ut i en tredimensionell graf som följande:
För vektorn (c) kan vi se att z-komponenten är noll, därför kommer den att vara parallell med abscissaxeln. Istället är z-komponenten i vektorn (b) positiv så att vi kan se hur den lutar uppåt. Båda vektorerna är i kvadranten av de positiva när det gäller komponenten, eftersom den är positiv och är densamma.