Funktionella ekvationer - Vad är det, definition och koncept

Funktionella ekvationer är de som har en annan funktion som okänd. En funktion som kan kopplas till en algebraisk operation som addition, subtraktion, division, multiplikation, kraft eller root.

Funktionella ekvationer kan också definieras som de som inte lätt kan reduceras till en algebraisk funktion, av typen f (x) = 0, för deras upplösning.

Funktionella ekvationer kännetecknas av att det inte finns något enda sätt att lösa dem. Dessutom kan variabeln i fråga ta olika värden (vi kommer att se den med exempel).

Exempel på funktionella ekvationer

Några exempel på funktionella ekvationer är:

f (xy) = f (x). f (y)

f (x²+ och²) = f (xy)²/2

f (x) = f (x + 3) / x

I fall som de tidigare kan det till exempel läggas till att x tillhör uppsättningen av reella tal, det vill säga x ∈ R (noll kan uteslutas).

Exempel på funktionella ekvationer

Låt oss se några exempel på lösta funktionella ekvationer:

f (1 / 2x) = x-3f (x)

Så om jag ersätter x med 1 / 2x:

f (1/2 (1 / 2x)) = (1 / 2x) -3f (1 / 2x)

f (x) = (1 / 2x) -3f (1 / 2x)

f (x) = (1 / 2x) -3 (x-3f (x))

f (x) = (1 / 2x) -3x + 9f (x)

8f (x) = 3x- (1 / 2x)

f (x) = (3/8) x- (1 / 16x)

Låt oss nu se ett annat exempel med lite svårare, men där vi kommer att fortsätta på ett liknande sätt:

x²f (x) -f (5-x) = 3x … (1)

I det här fallet löser vi först f (5-x)

f (5-x) = x²f (x) -3x … (2)

Nu ersätter jag x med 5-x i ekvation 1:

(5-x)²f (5-x) -f (5- (5-x)) = 3 (5-x)

(25-10x + x²) .f (5-x) -f (x) = 15-3x

Vi kommer ihåg att f (5-x) är i ekvation 2:

(25-10x + x²(x²f (x) -3x) -f (x) = 15-3x

25x²-75x-10x³f (x) + 30x²+ x⁴f (x) -3x³-f (x) = 15-3x

f (x) (x⁴-10x³-1) = 3x³-55x²+ 72x

f (x) = (3x³-55x²+ 72x) / (x⁴-10x³-1)

Cauchys funktionella ekvation

Den funktionella Cauchy-funktionen är en av de mest grundläggande i sitt slag. Denna ekvation har följande form:

f (x + y) = f (x) + f (y)

Förutsatt att x och y finns i uppsättningen rationella tal, berättar lösningen av denna ekvation att f (x) = cx, där c är någon konstant, och samma händer med f (y).