Cramér-Rao bound (CCR) är den minsta varians som, med tanke på regelbundenhet, en uppskattning av en parameter kan nå.
Med andra ord letar vi efter den varians som ligger närmast denna nedre gräns för att hitta den bästa uppskattaren enligt egenskaperna för opartiskhet och effektivitet.
Det rekommenderas att läsa uppskattarnas egenskaper
Dessa egenskaper används när vi måste välja en estimator för att kunna utföra en ekonometrisk analys. Om vi vill att våra resultat ska vara avgörande, måste vi åtminstone kräva att uppskattaren är opartisk och att ha minsta möjliga varians av alla opartiska uppskattare (effektivitet).
Även om vi tar hänsyn till alla opartiska uppskattare kan det hända att det finns en annan opartisk uppskattare som har mindre avvikelse när vi letar efter minsta variansuppskattaren.
Så att ingen opartisk uppskattning med minsta varians undviker oss, fastställer vi en minsta eller lägre gräns som variansen för en opartisk uppskattning av en parameter inte kan överstiga.
Vi tittar bara på de opartiska uppskattarna eftersom de partiska beräkningarna kan ha avvikelser mindre än CCR.
Formulering
Vi definierar:
f (X; Θ): sannolikhetsdensitetsfunktion.
E (·): matematiskt hopp.
I (Θ): Fisher-information om en parameter.
Representerar "mängden information" om värdet på parametern som ingår i en observation av den slumpmässiga variabeln X.
Formel:
Ingen panik! Vad kan vi se vid första anblicken från denna formel?
- Vi kan se att det är en icke-strikt ojämlikhet (≥) istället för en jämlikhet (=). Detta beror på att vi i vissa fall inte hittar (finns inte) en opartisk uppskattare som når CCR-gränsen. Därför säger vi att vi letar efter variansen hos en opartisk uppskattare som är så nära denna nedre gräns som möjligt. Dessutom berättar CCR oss vad minsta varians för uppskattaren kommer att vara, under denna siffra kan den inte hittas.
- Delen till höger (var (Θ ’) är variansen för uppskattningen av vår parameter.
- Delen till vänster (1 / J (Θ)) är det oöverstigliga minimumet av variansen.
- Om vi letar efter ett (absolut) minimum för variansen för estimatorn för Θ är det logiskt att partiella derivat (derivat med avseende på Θ) visas.
- I ekonomin används partiella derivat under första och andra ordningens förhållanden för att optimera verktygsfunktioner: hitta respektive relativa och absoluta max.
- CCR använder det första partiella derivatet av parametern Θ på sannolikhetsdensitetsfunktionen f (X; Θ)
- För att underlätta beräkningen används i vissa fall andra derivatinformation och alternativ Fisher-information för att erhålla CCR.
Beräknarna som, om de är opartiska, har en avvikelse som är lika med CCR, kommer då att betraktas som de mest effektiva. På samma sätt kommer de opartiska vars avvikelse är närmare att betraktas som relativt effektivare än de andra uppskattarna (längre bort).