Chebyshevs ojämlikhet är en teorem som används i statistik som ger en konservativ uppskattning (konfidensintervall) av sannolikheten att en slumpmässig variabel med ändlig varians kommer att vara på ett visst avstånd från dess matematiska förväntan eller dess medelvärde.
Dess formella uttryck är som följer:
X = uppskattat värde
µ = Matematisk förväntan på det uppskattade värdet
Ϭ = standardavvikelse för det förväntade värdet
k = Antal standardavvikelser
Med utgångspunkt från detta allmänna uttryck och utveckling av den del som förblir inom det absoluta värdet skulle vi ha följande:
Om vi är uppmärksamma på det föregående uttrycket kan man se att delen till vänster inte är mer än a konfidensintervall. Detta ger oss både en nedre och en övre gräns för det uppskattade värdet. Därför berättar Chebyshev-ojämlikheten om minsta sannolikhet för att populationsparametern ligger inom ett visst antal standardavvikelser över eller under dess medelvärde. Eller på ett annat sätt, det ger oss sannolikheten att populationsparametern ligger inom det konfidensintervallet.
Chebyshevs ojämlikhet ger ungefärliga gränser för det uppskattade värdet. Trots att det har en viss grad av osäkerhet är det en mycket användbar sats eftersom den kan tillämpas på ett brett spektrum av slumpmässiga variabler oavsett deras fördelningar. Den enda begränsningen för att kunna använda denna ojämlikhet är att k måste vara större än 1 (k> 1).
Matematisk ojämlikhetExempel på tillämpning av Chebyshevs ojämlikhet
Anta att vi är förvaltare av en investeringsfond. Portföljen vi förvaltar har en genomsnittlig avkastning på 8,14% och en standardavvikelse på 5,12%. För att till exempel veta vilken procentandel av vår avkastning som är minst 3 standardavvikelser från vår genomsnittliga lönsamhet, skulle vi helt enkelt använda den tidigare formeln för uttryck 2.
k = 1,96
Ersätter värdet av k: 1- (1 / (1,96 2)) = 0,739 = 73,9%
Detta innebär att 73,9% av resultaten ligger i konfidensintervallet som ligger vid 1,96 standardavvikelser från medelvärdet.
Låt oss göra föregående exempel för andra värden än k.
k = 2,46
k = 3
Ersätter värdet av k: 1- (1 / (2,46 2)) = 0,835 = 83,5%
Ersätter värdet av k: 1- (1 / (3 2)) = 0,889 = 88,9%
Det finns 83,5% av data som ligger på ett avstånd av 2,46 standardavvikelser från medelvärdet och 88,9% som ligger inom 3 standardavvikelser från medelvärdet.
Med hjälp av Chebyshevs ojämlikhet är det lätt att dra slutsatsen att ju högre värdet på K (ju större avvikelsen för det uppskattade värdet från dess medelvärde), desto större är sannolikheten för att den slumpmässiga variabeln ligger inom det begränsade intervallet.
KurtosisCentrala gränsvärdessatsenOlikhet