En binomial fördelning är en diskret sannolikhetsfördelning som beskriver antalet framgångar när man utför n oberoende experiment på en slumpmässig variabel..
Det finns en stor mångfald av experiment eller händelser som kan karaktäriseras under denna sannolikhetsfördelning. Föreställ dig ett myntkast där vi definierar händelsen "att slå huvudet" som framgång. Om vi slänger myntet fem gånger och räknar de träffar (huvuden) som vi får, skulle vår sannolikhetsfördelning passa en binomial fördelning.
Därför förstås binomialfördelningen som en serie tester eller försök där vi bara kan ha två resultat (framgång eller misslyckande), framgång är vår slumpmässiga variabel.
Binomialfördelningens egenskaper
För att en slumpmässig variabel ska anses följa en binomial fördelning måste den uppfylla följande egenskaper:
- I varje försök, experiment eller test är endast två resultat (framgång eller misslyckande) möjliga.
- Sannolikheten för framgång måste vara konstant. Detta representeras av bokstaven p. Sannolikheten för att ett mynt vänder huvuden är 0,5 och detta är konstant eftersom myntet inte förändras i varje experiment och sannolikheten för ett huvuden är konstant.
- Sannolikheten för misslyckande måste också vara konstant. Detta representeras av bokstaven q = 1-p. Det är viktigt att notera att med hjälp av denna ekvation, att känna till p eller att känna q, kan vi få den vi saknar.
- Resultatet som erhållits i varje experiment är oberoende av det föregående. Därför påverkar inte vad som händer i varje experiment följande.
- Händelserna utesluter varandra, det vill säga de kan inte båda inträffa samtidigt. Det är inte möjligt att vara en man och en kvinna samtidigt eller att det när du slänger ett mynt kommer ut huvud och svans samtidigt.
- Händelserna är kollektivt uttömmande, det vill säga minst en av de två måste inträffa. Om du inte är man, är du kvinna och, om du slänger ett mynt, om det inte kommer upp i huvuden, måste det vara svansar.
- Den slumpmässiga variabeln som följer en binomial fördelning representeras vanligtvis som X ~ (n, p), där n representerar antalet försök eller experiment och p sannolikheten för framgång.
Formel för binomial fördelning
Formeln för att beräkna normalfördelningen är:
Var:
n = Antal försök / experiment
x = antal framgångar
p = Sannolikhet för framgång
q = Sannolikhet för fel (1-p)
Det är viktigt att notera att uttrycket inom hakparenteser inte är ett matrisuttryck, utan är ett resultat av ett kombinatoriskt utan upprepning. Detta erhålls med följande formel:
Utropstecknet i föregående uttryck representerar faktorsymbolen.
Binomial distributionsexempel
Låt oss föreställa oss att 80% av människorna i världen har sett den sista matchen i den senaste fotbolls-VM. Efter evenemanget träffas fyra vänner för att prata. Vad är sannolikheten för att tre av dem har sett spelet?
Låt oss definiera variablerna i experimentet:
n = 4 (är det totala urvalet vi har)
x = antal framgångar, som i det här fallet är lika med 3, eftersom vi letar efter sannolikheten att 3 av de 4 vännerna har sett det.
p = sannolikhet för framgång (0,8)
q = sannolikhet för fel (0,2). Detta resultat erhålls genom att subtrahera 1-p.
Efter att ha definierat alla våra variabler ersätter vi helt enkelt i formeln.
Faktatorns täljare skulle erhållas genom att multiplicera 4 * 3 * 2 * 1 = 24 och i nämnaren skulle vi ha 3 * 2 * 1 * 1 = 6. Därför skulle resultatet av fakultetet vara 24/6 = 4 .
Utanför fästet har vi två siffror. Det första skulle vara 0,8 3 = 0,512 och det andra 0,2 (eftersom 4-3 = 1 och vilket tal som helst som höjs till 1 är detsamma).
Därför skulle vårt slutliga resultat vara: 4 * 0,512 * 0,2 = 0,4096. Om vi multiplicerar med 100 har vi en sannolikhet på 40,96% att 3 av de 4 vännerna har sett VM-finalen.