Eigenvektorer är vektorer multiplicerade med en egenvärde i linjära transformationer av en matris. Egenvärdena är konstanter som multiplicerar egenvektorerna i linjära transformationer av en matris.
Med andra ord översätter egenvektorerna informationen från den ursprungliga matrisen till multiplicering av värden och en konstant. Egenvärdena är denna konstant som multiplicerar egenvektorerna och deltar i den linjära transformationen av den ursprungliga matrisen.
Även om dess namn på spanska är mycket beskrivande, kallas egenvektorerna på engelska egenvektorer och egenvärden, egenvärden.
Rekommenderade artiklar: matris typologier, invers matris, determinant för en matris.
Egna vektorer
Egenvektorerna är uppsättningar av element som genom att multiplicera en konstant är ekvivalenta med multiplikationen av den ursprungliga matrisen och uppsättningarna av element.
Matematiskt en egenvektorV= (v1, …, Vn) av en kvadratmatrisF är vilken vektor som helstV som uppfyller följande uttryck för varje konstanth:
QV = hV
Egna värden
Konstanten h är egenvärdet som tillhör egenvektorn V.
Egenvärdena är de verkliga rötterna (rötter som har verkliga tal som en lösning) som vi hittar genom den karakteristiska ekvationen.
Egenskaper för egenvärden
- Varje egenvärde har oändliga egenvektorer eftersom det finns oändliga reella tal som kan vara en del av varje egenvektor.
- De är skalar, de kan vara komplexa tal (inte riktiga) och de kan vara identiska (mer än en lika egenvärde).
- Det finns lika många egenvärden som det finns antal rader (m) eller kolumner (n) har den ursprungliga matrisen.
Vektorer och egenvärden
Det finns ett linjärt beroendeförhållande mellan vektorer och egenvärden eftersom egenvärdena multiplicerar egenvektorerna.
Matematiskt
Om V är en egenvektor för matrisenZ Y h är matrisens egenvärde Z, dåhV är en linjär kombination mellan vektorer och egenvärden.
Karaktäristisk funktion
Den karakteristiska funktionen används för att hitta egenvärdena för en matrisZ fyrkant.
Matematiskt
(Z - hl) V = 0
Var ZYh definieras ovan ochJag är identitetsmatrisen.
Villkor
För att hitta vektorer och egenvärden för en matris måste den vara nöjd:
- Matris Z kvadrat: antalet rader (m) är samma som antalet kolumner (n).
- Matris Z verklig. De flesta matriser som används i ekonomi har verkliga rötter. Vilken fördel har det att använda verkliga rötter? Tja, matrisens egenvärden kommer aldrig att vara komplexa tal, och det, vänner, löser våra liv mycket.
- Matris (Z- Hej) inte inverterbar: determinant = 0. Detta tillstånd hjälper oss att alltid hitta andra egenvektorer än noll. Om vi hittade egenvektorer lika med 0 skulle multiplikationen mellan värden och egenvektorer vara noll.
Praktiskt exempel
Vi antar att vi vill hitta vektorerna och egenvärdena för aZ 2 × 2 måttmatris:
1. Vi ersätter matrisen Z YJag i den karakteristiska ekvationen:
2. Vi fixar faktorerna:
3. Vi multiplicerar elementen som om vi letade efter determinanten för matrisen.
4. Lösningen på denna kvadratiska ekvation är h = 2 och h = 5. Två egenvärden eftersom antalet rader eller kolumner i matrisen Z är 2. Så vi har hittat matrisens egenvärden Z som i sin tur gör avgörande 0.
5. För att hitta egenvektorerna måste vi lösa:
6. Till exempel (v1, v2) = (1,1) för h = 2 och (v1, v2) = (- 1,2) för h = 5:
