Den exponentiella funktionen är grunden för kontinuerlig sammansättning, vilket är resultatet av att öka oändligt (när p tenderar till oändlighet) frekvensen för beräkning av ränta i en sammansatt sammansättning.
Med andra ord är den exponentiella funktionen en sammansatt sammansättning där tidsperioderna mellan ränteberäkningarna är oändliga (mycket små).
Formeln för den exponentiella funktionen är:
Kontinuerlig sammansättning kan uttryckas som
Rimliga likheter mellan kontinuerlig kapitalisering och den exponentiella funktionen, eller hur?
Vi definierar variablerna för kontinuerlig kapitalisering:
- Ct + 1: kapital vid tidpunkten t + 1 (senare).
- Ct: kapital vid tidpunkten t (aktuell).
- it: ränta vid tidpunkten t.
- p: frekvens av sammansättning eller periodicitet.
- t: tid.
Applikationer
I ekonomi hittar vi ofta den exponentiella funktionen i formeln för kontinuerlig kapitalisering av framtida inkomster och i vissa ekonometriska regressioner.
Inom ekonomin är det inte så populärt eftersom de flesta mikroekonomiska och makroekonomiska modeller antar minskande marginalavkastning på sina produktionsfaktorer. Följaktligen antar de att faktorerna följer logaritmiska avkastningar och därför returnerar i strid med den exponentiella funktionen.
Exponentiell funktionsexempel
Vi antar att vi är en amerikansk investerare som vill bygga en skidback i Pico Bolívar, Venezuela. Den ursprungliga investeringen är 100 miljoner USD till en årlig ränta på 100%. Denna investerare har tillräcklig förhandlingsstyrka för att bestämma periodiciteten för beräkningen av räntan på sin investering.
Vilket alternativ föredrar den amerikanska investeraren?
För att svara på frågan måste vi beräkna kapitalet i tid t + 1 (Ct + 1) som investeraren kommer att få.
Information tillgänglig:
Ct: $ 100MM
it: 100%
t: 1 (årlig)
Ct + 1: ?
| Alternativ | TILL | B | C | D | OCH | F |
| Periodicitet | 1 | 2 | 50 | 100.000 | 10.000.000 | 1.000.000.000 |
Vi ersätter informationen vi har i de två formlerna (funktion exp. Och kontinuerlig versaler)
Vi behandlar data för att undvika MM.
Vi delar (Ct + 1) per 100 i den exponentiella funktionen för att eliminera effekten av kapital. På detta sätt flyttar vi komman två platser framåt. Följaktligen är denna effekt synlig i följande kolumner med resultat.
Resultat:
| Formel | Kontinuerlig sammansättning | Exponentiell funktion |
| Periodicitet (p) eller (n) | Ct + 1 | Ct + 1/100 |
| 1 | 200 | 2 |
| 2 | 225 | 2,25 |
| 50 | 269,1588029 | 2,691588029 |
| 100.000 | 271,8268237 | 2,718268237 |
| 10.000.000 | 271,8281694 | 2,718281694 |
| 1.000.000.000 | 271,8282031 | 2,718282031 |
När n eller p tenderar till oändlighet, i detta fall från 10 000 000, kan vi se att värdena konvergerar på ett visst tal. För kontinuerlig sammansättning är det 271,8281 och för exponentiell funktion är det 2,718281. De två serierna sammanfaller och.
Svaret på träningen löstes
Så, vilket alternativ kommer den amerikanska investeraren att välja, om kapitalet vid t + 1 (Ct + 1) stånd till ett visst värde?
- Om denna investerare behandlar kapital som en diskret variabel, kommer han att välja alternativ D. Eftersom från alternativ C, kapital vid t + 1 (Ct + 1) konvergerar till $ 271MM.
- Om denna investerare behandlar kapital som en kontinuerlig variabel, kommer han att välja alternativet med mer periodicitet. I det här fallet, alternativ F. Även om det hamnar i ett värde, tar investeraren hänsyn till alla decimaler.
Denna konvergens innebär att kapital vid t + 1 (Ct + 1), beräknat med den kontinuerliga sammansättningsformeln eller den exponentiella funktionen, följer minskande marginalavkastning. Med andra ord, (Ct + 1) kan uttryckas som en logaritmisk funktion.
Schematiskt:
- Periodicitet = exponentiell funktion.
- Kapital till t + 1 (Ct + 1) = logaritmisk funktion.
Grafisk representation
I diagrammet kan du se hur den exponentiella funktionen, som är oändligt kontinuerlig, växer mycket snabbare än den begränsade kontinuerliga versalerna. När vi talar om kontinuerlig kapitalisering hänvisar vi till ett slags sammansatt kapitalisering men med större periodicitet, eftersom det i praktiken är omöjligt att kapitalisera intressen oändligt. Jag menar, vi kan inte dra nytta av varje sekund.